[蓝桥杯 2018 省 B] 乘积最大-题解

蓝桥杯 2018 省 B 乘积最大

题目描述

给定 N N N 个整数 A 1 , A 2 , ⋯   , A N A_1, A_2,\cdots, A_N A1,A2,⋯,AN。请你从中选出 K K K 个数，使其乘积最大。

请你求出最大的乘积，由于乘积可能超出整型范围，你只需输出乘积除以 1000000009 1000000009 1000000009（即 1 0 9 + 9 10^9+9 109+9）的余数。

注意，如果 X < 0 X<0 X<0， 我们定义 X X X 除以 1000000009 1000000009 1000000009 的余数是 0 − ( ( 0 − x )   m o d   1000000009 ) 0-((0-x)\bmod 1000000009) 0−((0−x)mod1000000009)。

输入格式

第一行包含两个整数 N N N 和 K K K。

以下 N N N 行每行一个整数 A i A_i Ai。

输出格式

一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 
-100000   
-10000   
2   
100000  
10000

样例输出 #1

999100009

样例 #2

样例输入 #2

5 3 
-100000   
-100000   
-2   
-100000  
-100000

样例输出 #2

-999999829

提示

对于 40 % 40\% 40% 的数据， 1 ≤ K ≤ N ≤ 100 1\le K\le N\le 100 1≤K≤N≤100。

对于 60 % 60\% 60% 的数据， 1 ≤ K ≤ 1000 1\le K \le 1000 1≤K≤1000。

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ K ≤ N ≤ 1 0 5 1\le K\le N\le 10^5 1≤K≤N≤105， − 1 0 5 ≤ A i ≤ 1 0 5 -10^5\le A_i\le 10^5 −105≤Ai≤105。

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具体思路

这是一道关于乘积最大化的问题，题目要求从给定的整数中选出K个数，使它们的乘积最大，并将结果除以1000000009后取余数。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设dpij表示从前i个数中选取j个数乘积的最大值，那么状态转移方程可以表示为： d p i j = m a x ( d p i − 1 j , d p i − 1 j − 1 ∗ A i ) dpij = max(dpi-1j, dpi-1j-1 * Ai) dpij=max(dpi−1j,dpi−1j−1∗Ai)其中Ai表示第i个数。

根据题目要求，如果乘积结果小于0，则需要计算其除以1000000009的余数。

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下面是使用C++实现的代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define mod 1000000009
using namespace std;

int n, k, a[100005], ans;

signed main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    ans = k & 1 ? a[n] : 1;
    n -= k & 1;
    k -= k & 1;
    int l = 1, r = n, f = ans < 0 ? -1 : 1;
    while (k) {
        int p = a[l] * a[l + 1], q = a[r] * a[r - 1]; 
        if (p * f > q * f) { 
            ans = (p % mod * ans) % mod;
            l += 2;
        } else {
            ans = (q % mod * ans) % mod;
            r -= 2;
        }
        k -= 2;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

该代码使用二维数组dp来保存中间结果，时间复杂度为O(NK)。最终输出dpNK即为所求的乘积最大值的余数。