代码随想录算法训练营第三十九天|背包问题，416. 分割等和子集

背包问题，416. 分割等和子集

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背包问题

有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight $i$ ，得到的价值是value $i$ 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

卡玛网的代码参考

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n, bagweight = map(int, input().split())

weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(n)]

for j in range(weight[0], bagweight + 1):
    dp[0][j] = value[0]

for i in range(1, n):
    for j in range(bagweight + 1):
        if j < weight[i]:
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

print(dp[n - 1][bagweight])

一维dp 的01背包初始化和遍历顺序更简单，一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维不同，使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历。

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n, bagweight = map(int, input().split())
weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

dp = [0] * (bagweight + 1)  # 创建一个动态规划数组dp，初始值为0

dp[0] = 0  # 初始化dp[0] = 0,背包容量为0，价值最大为0

for i in range(n):  # 应该先遍历物品，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品
    for j in range(bagweight, weight[i]-1, -1):  # 倒序遍历背包容量是为了保证物品i只被放入一次
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print(dp[bagweight])

416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1 :
输入 : $1, 5, 11, 5$
输出 : true
解释: 数组可以分割成 $1, 5, 5$ 和 $11$ .

示例 2 :
输入 : $1, 2, 3, 5$
输出 : false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

参考代码，重点掌握一维的方法。

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class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        _sum = 0

        # dp[i]中的i表示背包内总和
        # 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        # 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        dp = [0] * 10001
        for num in nums:
            _sum += num
        # 也可以使用内置函数一步求和
        # _sum = sum(nums)
        if _sum % 2 == 1:
            return False
        target = _sum // 2

        # 开始 0-1背包
        for num in nums:
            for j in range(target, num - 1, -1):  # 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)

        # 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if dp[target] == target:
            return True
        return False

简化

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class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        if sum(nums) % 2 != 0:
            return False
        target = sum(nums) // 2
        dp = [0] * (target + 1)
        for num in nums:
            for j in range(target, num-1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-num] + num)
        return dp[-1] == target

二维DP

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class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        
        total_sum = sum(nums)

        if total_sum % 2 != 0:
            return False

        target_sum = total_sum // 2
        dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]

        # 初始化第一行（空子集可以得到和为0）
        for i in range(len(nums) + 1):
            dp[i][0] = True

        for i in range(1, len(nums) + 1):
            for j in range(1, target_sum + 1):
                if j < nums[i - 1]:
                    # 当前数字大于目标和时，无法使用该数字
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                else:
                    # 当前数字小于等于目标和时，可以选择使用或不使用该数字
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]

        return dp[len(nums)][target_sum]

一维DP

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class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:

        total_sum = sum(nums)

        if total_sum % 2 != 0:
            return False

        target_sum = total_sum // 2
        dp = [False] * (target_sum + 1)
        dp[0] = True

        for num in nums:
            # 从target_sum逆序迭代到num，步长为-1
            for i in range(target_sum, num - 1, -1):
                dp[i] = dp[i] or dp[i - num]
        return dp[target_sum]