【笔记】复数基础&&复数相乘的物理意义:旋转+缩放

复数基础

  • 复数的代数、向量、矩阵、极坐标和指数形式
    • [1. 代数形式](#1. 代数形式)
    • [2. 向量形式](#2. 向量形式)
    • [3. 矩阵形式](#3. 矩阵形式)
      • [3.1 推导](#3.1 推导)
      • [3.2 总结](#3.2 总结)
    • 4.欧拉公式
      • [4.1 指数函数的泰勒级数展开](#4.1 指数函数的泰勒级数展开)
      • [4.2 将实部和虚部与 cos ⁡ θ \cos \theta cosθ 和 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 对比](#4.2 将实部和虚部与 cos ⁡ θ \cos \theta cosθ 和 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 对比)
    • [5. 极坐标形式](#5. 极坐标形式)
    • [6. 指数形式](#6. 指数形式)
  • 复数相乘的物理意义:旋转+缩放
    • [1. 复数相乘的几何解释](#1. 复数相乘的几何解释)
    • [2. 物理意义:旋转 + 缩放](#2. 物理意义:旋转 + 缩放)

复数的代数、向量、矩阵、极坐标和指数形式

核心:

  • 复数相乘的物理意义是缩放和旋转
  • 复数乘法的旋转和缩放操作,可以借助矩阵的线性变换实现

1. 代数形式

复数 z z z 一般表示为:
z = a + b i z = a + bi z=a+bi

其中 a a a 为实部, b b b 为虚部, i i i 为虚数单位,满足 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。

2. 向量形式

复数可以在平面上表示为向量:

  • 向量的起点位于坐标原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0),
  • 终点位于 ( a , b ) (a, b) (a,b)。

复数的模和辐角对应向量的长度和方向,模为 r = a 2 + b 2 r = \sqrt{a^2 + b^2} r=a2+b2 ,辐角 θ = tan ⁡ − 1 ( b / a ) \theta = \tan^{-1}(b / a) θ=tan−1(b/a)。

3. 矩阵形式

复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi 可以用 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵表示:
z = a + b i ⇒ ( a − b b a ) z = a + bi \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} z=a+bi⇒(ab−ba)

3.1 推导

设复数 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 和 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di,它们的矩阵表示分别为:
M z 1 = ( a − b b a ) 和 M z 2 = ( c − d d c ) M_{z_1} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \quad \text{和} \quad M_{z_2} = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} Mz1=(ab−ba)和Mz2=(cd−dc)

对于两个复数 z 1 = a + b i z_1 = a + bi z1=a+bi 和 z 2 = c + d i z_2 = c + di z2=c+di,它们的乘积为:
z 1 ⋅ z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

可以找到一个矩阵 M z = ( a − b b a ) M_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} Mz=(ab−ba),使得它能够表达复数 a + b i a + bi a+bi 的线性变换,作用在二维向量 ( c , d ) (c, d) (c,d) 上时,实现复数乘法的效果。
M z ( c d ) = ( a − b b a ) ( c d ) = ( a c − b d a d + b c ) M_{z} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ac - bd \\ ad + bc \end{pmatrix} Mz(cd)=(ab−ba)(cd)=(ac−bdad+bc)

结果 ( a c − b d , a d + b c ) (ac - bd, ad + bc) (ac−bd,ad+bc) 正好与复数 ( a + b i ) ( c + d i ) (a + bi)(c + di) (a+bi)(c+di) 的实部和虚部相符。

此外,两个复数对应的矩阵相乘,结果如下:
M z 1 M z 2 = ( a − b b a ) ( c − d d c ) = ( a c − b d − ( a d + b c ) a d + b c a c − b d ) M_{z_1} M_{z_2} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ac - bd & - (ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix} Mz1Mz2=(ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)

结果矩阵的形式为 ( a c − b d − ( a d + b c ) a d + b c a c − b d ) \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix} (ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd),它实际上对应了复数 ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 的矩阵形式。因此,矩阵乘积 M z 1 M z 2 M_{z_1} M_{z_2} Mz1Mz2 正好与复数 z 1 z 2 z_1 z_2 z1z2 的矩阵形式一致。

3.2 总结

  • 复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi 可以表示为矩阵 M z = ( a − b b a ) M_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} Mz=(ab−ba)。
  • 矩阵乘法 M z 1 M z 2 M_{z_1} M_{z_2} Mz1Mz2 相当于复数的乘法 ( z 1 ⋅ z 2 ) (z_1 \cdot z_2) (z1⋅z2)。
  • 复数乘法的旋转和缩放操作,可以借助矩阵的线性变换实现。

4.欧拉公式

欧拉公式展示了复指数函数与三角函数的关系:
e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ

可以通过将 i θ i \theta iθ 带入指数函数的泰勒展开式来证明这一结果。

4.1 指数函数的泰勒级数展开

指数函数 e x e^x ex 的泰勒展开为:
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=1+1!x+2!x2+3!x3+⋯=n=0∑∞n!xn

将 x = i θ x = i \theta x=iθ 代入该展开式,得到:
e i θ = 1 + i θ 1 ! + ( i θ ) 2 2 ! + ( i θ ) 3 3 ! + ( i θ ) 4 4 ! + ⋯ e^{i \theta} = 1 + \frac{i \theta}{1!} + \frac{(i \theta)^2}{2!} + \frac{(i \theta)^3}{3!} + \frac{(i \theta)^4}{4!} + \cdots eiθ=1+1!iθ+2!(iθ)2+3!(iθ)3+4!(iθ)4+⋯

将 e i θ e^{i \theta} eiθ 的展开式按实部和虚部分开:

e i θ = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯   ) + i ( θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯   ) e^{i \theta} = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) eiθ=(1−2!θ2+4!θ4−6!θ6+⋯)+i(θ−3!θ3+5!θ5−7!θ7+⋯)

4.2 将实部和虚部与 cos ⁡ θ \cos \theta cosθ 和 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 对比

注意到上式中的两个部分:

  • 实部 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − ⋯ 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots 1−2!θ2+4!θ4−⋯ 正是 cos ⁡ θ \cos \theta cosθ 的泰勒展开。
  • 虚部 θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − ⋯ \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots θ−3!θ3+5!θ5−⋯ 正是 sin ⁡ θ \sin \theta sinθ 的泰勒展开。

因此,可以得到:
e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ

5. 极坐标形式

复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi 可以转换为极坐标形式:
z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z = r (\cos \theta + i \sin \theta) z=r(cosθ+isinθ)

其中:

  • r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} r=∣z∣=a2+b2 是模(距离原点的距离),
  • θ = arg ⁡ ( z ) \theta = \arg(z) θ=arg(z) 是辐角(与实轴的夹角)。

6. 指数形式

使用欧拉公式 e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ,复数可以表示为:
z = r e i θ z = r e^{i \theta} z=reiθ


复数相乘的物理意义:旋转+缩放

1. 复数相乘的几何解释

假设有两个复数 z 1 = r 1 e i θ 1 z_1 = r_1 e^{i \theta_1} z1=r1eiθ1 和 z 2 = r 2 e i θ 2 z_2 = r_2 e^{i \theta_2} z2=r2eiθ2,它们的乘积为:
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)} z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)

结果具有两个重要特点:

  • 模的乘积 :模 r 1 r_1 r1 和 r 2 r_2 r2 相乘,结果的模为 r 1 × r 2 r_1 \times r_2 r1×r2,即向量的长度被缩放。
  • 辐角的相加 :辐角 θ 1 \theta_1 θ1 和 θ 2 \theta_2 θ2 相加,结果的辐角为 θ 1 + θ 2 \theta_1 + \theta_2 θ1+θ2,即向量的方向发生旋转。

2. 物理意义:旋转 + 缩放

  • 旋转 :乘以 z 2 z_2 z2 将 z 1 z_1 z1 的方向旋转了 z 2 z_2 z2 的辐角 θ 2 \theta_2 θ2。
  • 缩放 :乘以 z 2 z_2 z2 将 z 1 z_1 z1 的模缩放了 z 2 z_2 z2 的模 r 2 r_2 r2 倍。

示例

假设 z 1 = 3 e i π 4 z_1 = 3 e^{i \frac{\pi}{4}} z1=3ei4π 和 z 2 = 2 e i π 6 z_2 = 2 e^{i \frac{\pi}{6}} z2=2ei6π,它们的乘积为:
z 1 z 2 = ( 3 × 2 ) e i ( π 4 + π 6 ) = 6 e i 5 π 12 z_1 z_2 = (3 \times 2) e^{i \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right)} = 6 e^{i \frac{5\pi}{12}} z1z2=(3×2)ei(4π+6π)=6ei125π

在几何上, z 1 z_1 z1 先旋转 π 6 \frac{\pi}{6} 6π(约 30°),再放大 2 倍,得到的新向量长度为 6,角度为 5 π 12 \frac{5\pi}{12} 125π(约 75°)。

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