最长递增子序列

这是一个关于如何使用动态规划（Dynamic Programming, DP）求解"最长递增子序列"问题的详细博客。内容包括了题目分析、思路解析、案例解释以及代码实现，帮助你深入理解该问题的解法。

📌 题目分析

题目：给定一个整数数组 nums，找到其中最长的严格递增子序列的长度。

输入：一个整数数组 nums。
输出：最长递增子序列的长度（严格递增，子序列中的元素需保持相对顺序）。

示例：

输入: [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
输出: 4
解释: 最长递增子序列为 [2, 3, 7, 101]，长度为 4。

🧠 思路分析

这个问题适合用 动态规划 来解决。动态规划的核心思想是将大问题分解成小问题，并将每个小问题的解存储下来，以避免重复计算。我们可以用一个数组 dp 来记录每个位置的最长递增子序列的长度。算法过程如下：

初始化 dp 数组，每个元素的初始值为 1，因为每个元素本身就是一个长度为 1 的递增子序列。
从数组的第一个元素开始，遍历每个元素 i，对于每个 i，再遍历 i 之前的所有元素 j。
若 nums[j] < nums[i]，则 nums[i] 可以接在 nums[j] 之后构成递增序列。此时更新 dp[i] 的值：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
遍历完所有元素后，dp 数组中最大的值即为最长递增子序列的长度。

动态规划状态转移方程

设 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度，则：

d p $i$ = max ⁡ ( d p $i$ , d p $j$ + 1 ) for j < i and n u m s $j$ < n u m s $i$ dp $i$ = \max(dp $i$ , dp $j$ + 1) \quad \text{for } j < i \text{ and } nums $j$ < nums $i$ dp $i$ =max(dp $i$ ,dp $j$ +1)for j<i and nums $j$ <nums $i$

最终结果为 dp 数组的最大值 \max(dp)。

时间复杂度

时间复杂度：O(n²)，其中 n 是数组的长度。原因是我们对每个元素进行一轮遍历。
空间复杂度 ：O(n)，因为我们用了一个长度为 n 的 dp 数组。

📊 案例解释

案例 1

输入: [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]

过程

初始化：dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]，每个元素的初始长度为 1。
从 nums[0] 到 nums[7] 逐步更新 dp 值：

i = 3 ：dp[3] = max(dp[3], dp[2] + 1) = 2（即 [2, 5]）。
i = 4 ：dp[4] = 2（即 [2, 3]）。
i = 5 ：dp[5] = 3（即 [2, 3, 7]）。
i = 6 ：dp[6] = 4（即 [2, 3, 7, 101]）。
i = 7 ：dp[7] = 4（即 [2, 3, 7, 18]）。

最终 dp 数组为 [1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]，最大值为 4。

案例 2

输入: [0, 1, 0, 3, 2, 3]

过程：
- dp[1] = 2（即 [0, 1]）
- dp[3] = 3（即 [0, 1, 3]）
- dp[4] = 3（即 [0, 1, 2]）
- dp[5] = 4（即 [0, 1, 2, 3]）
最长递增子序列的长度为 4。

🔧 代码实现

python代码

python 复制代码

import os
import sys

# 请在此输入您的代码

def print_arr(arr):
  for i in range(len(arr)):
    if i == 0:
      print(arr[i],end='')
    else:
      print(' ',arr[i],end='')

def init_arr(size):
  return [1] * size

def solve(dp,arr):
  for i in range(0,len(arr)):
    for j in range(0,i):
      if arr[i] > arr[j]:
        dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)
  max_len = max(dp)
  max_len_index = dp.index(max_len)
  res = [arr[max_len_index]]
  max_len -= 1
  idx = max_len_index - 1
  while max_len > 0:
    if dp[idx] != dp[idx + 1]:
      res.append(arr[idx])
      max_len -= 1
    idx -= 1
  return list(reversed(res))

n = int(input())

arr = list(map(int,input().split()))
dp = init_arr(len(arr))
res = solve(dp,arr)
print_arr(res)

C++代码

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int max_len = 1024;

int dp[max_len];

void print_arr(int *, int);
void solve(int *, int);

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	int a[n];
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	fill(dp,dp+max_len,1);
	solve(a,n);
	return 0;
}

void solve(int* a, int arr_len){
	for(int i=0;i<arr_len;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			if (*(a+i) > *(a+j)){
				dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
	}
	print_arr(dp,arr_len);
	int* max_value_ptr = max_element(dp,dp+arr_len);
	int max_value = *max_value_ptr;
	int r_size = max_value;
	int max_value_idx = max_value_ptr - dp;
	int* res = (int*) malloc(sizeof(int)*r_size);
	int j = r_size - 1;
	res[j] = a[max_value_idx];
	max_value --;
	int idx = max_value_idx - 1;
	while(max_value > 0){
		if(dp[idx] != dp[idx+1]){
			res[--j]=a[idx];
			max_value --;
		}
		idx--;
	}
	print_arr(res,r_size);
}

void print_arr(int* a, int arr_len){
	for(int i=0;i<arr_len;i++){
		if(i==0){
			cout<<a[i];
		}else{
			cout<<" "<<a[i];
		}
	}
}

代码说明

初始化 dp ：dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度，初始值为 1。
双重循环 ：遍历 nums 的每一对 (j, i) 元素，更新 dp[i]。
返回结果 ：max(dp) 返回最长递增子序列的长度。

📈 总结

动态规划 在求解最长递增子序列问题时，能够高效记录每个位置的状态，避免重复计算。
dp 数组 记录了以每个元素为终点的最长递增子序列的长度，从而将问题分解为小问题进行求解。
这种方法尽管时间复杂度是 O(n²)，但可以应对大部分常见的序列长度，如几千个元素的序列。