01背包问题---1(dp为二维数组)：
思路：
因为有物品和背包容量两个方面，因此我们使用二维数组保存递推的结果
-
① dp数组及下标的含义：
dp[i][j]，其中 i 是第 i 个物品，j是背包容量，dp[i][j]表示在背包容量为 j 时，在[0, i]物品中任取所能取得的最大价值 -
② 递推公式：
根据是否取物品 i 来确定递推公式：
1）如果不取物品 i ，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j]
2）如果取物品 i，那么背包容量剩余 j - weight[i]，在[0, i - 1]物品中任取所能取得的最大价值为dp[i - 1][j - weight[i]]。因此dp[i][j] = dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]
因此dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
当背包容量 j 能放下物品 i 时 -
③ 初始化：
物品 i 的范围为[0, M - 1]，背包容量 j 的范围为[0, N]
因此设定的dp为M×(N + 1)的数组dp = [[0] * (N + 1) for _ in range(M)]
初始化第0列为全0，因为背包容量为0时放不了任何东西
由递推公式可知，还需要初始化第0行，那么就是，如果背包容量不能放下第0物品，dp为0；否则为value[0]
for j in range(weight[0], bagweight + 1):
dp[0][j] = value[0]
- ④ 遍历方式
由于dp递推式中dp[i][j]需要的信息都在其左上方，因此只要是先遍历完左上方的都可以。
比如先遍历物品再遍历容量，或者先遍历容量再遍历物品。其中先物品后容量是比较好理解的 - ⑤ 举例：
背包重量 4，物品的重量及价值
推导的dp数组
感悟：
dp数组及下标的含义，初始化以及遍历时记得下标的含义从而得到正确的范围
01背包问题--2(dp为一维数组)：
二维dp数组的01背包递推式为：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])，其中 i 为物品下标, j 为背包容量，dp[i][j]为从下标为[0, i]的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少 。
那么如果将第 i - 1行的内容复制到第 i 行 ，那么递推公式为
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
那么实际上就可以按行 状态压缩为一维数组dp（将原来二维的压缩为了原来的一行）
递推式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
- ① dp数组及下标的含义
dp[j]表示背包容量为 j 能放进的最大价值 - ② 递推式
递推式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])（如果背包能放进下标为 i 的物品） - ③ 初始化
dp[0] = 0，背包容量为0放不了物品, j ≠ 0 如何初始化呢。查看递推式
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])，每次取最大值，如果题目给的价值都是正整数，那么dp[j]初始化为0 - ④ 遍历顺序
1）倒序遍历背包容量：原因，由递推式可知, dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])，如果顺序遍历的话，同一个物品会被多次放进背包 。如（还是拿上一次举例的物品和背包容量）；
或者也可以这么理解，一维dp数组是由二维dp数组压缩而来，二维的递推式为dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])，那么一维递推式中的dp[j - weight[i]] + value[i]对应dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，也就是一维数组中dp[x](x =j - weight[i])应当为上一行的值，如果顺序遍历的话，那么dp[x]就是这一行的值，所以要逆序遍历让dp[x]仍然为上一行的值
为什么二维dp数组遍历时不用倒序，因为dp[i][j]由上一层即dp[i - 1][j]计算而来，遍历本层dp[i][j]时不会覆盖上一层的数据，或者说本层dp[i][j]不会被覆盖
2）只能先遍历物品再遍历背包容量：
因为遍历背包容量为逆序遍历，所以如果先遍历物品再遍历背包容量的话，那么每次比较的就是空背包中放入一个物品后的价值比较。也就是背包中只能放一个物品了。
需要注意的是： 因为dp初始化为0，因此遍历物品从0开始；内层循环逆序遍历背包容量只到weight[i]即可。 - ⑤ 举例
背包容量为4，物品的重量及价值如下
那么递推的dp为
python3
class Solution():
def bagSolution(self):
material, bagweight = [int(x) for x in input().split()]
weight = [int(x) for x in input().split()]
value = [int(x) for x in input().split()]
dp = [0] * (bagweight + 1) # 初始化为全0
# 先遍历物品，后遍历背包容量
for i in range(material): # 因为初始化为全0，所以第一个物品也要遍历
# 内层循环从bagweight空间逐渐减少到当前材料所占空间
for j in range(bagweight, weight[i] - 1, -1): # 倒序
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
# 输出dp[bagweight]，即在给定N 背包空间可以携带的研究材料的最大价值
return dp[-1]
solution = Solution()
print(solution.bagSolution())感悟：
状态压缩二维数组为一维数组，该一维数组是原二维数组的某一行。因为计算dp需要用到其左上角的数据，如果遍历背包容量时顺序遍历，那么左上角数据就会被覆盖，因此需要逆序遍历，且只能先遍历物品，后遍历背包
LeetCode 416.分割等和子集：
思路：
- 将问题修改为适合01背包的解法（dp是求最大值）
首先本题的目标为在集合中能否找到总和为sum / 2的子集
可以使用回溯，但是需要剪枝让其不超时。本题我们使用背包问题求解。
背包问题常见有：01背包、完全背包、多重背包以及分组背包
如果一个物品可以重复放入背包，那么是完全背包问题；只能放入一次是01背包问题。本题中集合中的元素只能放入一次，因此是01背包问题。
怎么确定能将01背包问题套入本题：
- 背包体积为 sum / 2
- 背包要放入的物品的重量为元素的数值，价值也为元素的数值
- 如果背包正好装满，说明找到了总和为sum / 2的子集
- 背包中每个元素都不能重复放入
动规五部曲 - ① dp及下标的含义
01背包中,dp[j]：表示容量为 j 的背包，所装的物品最大价值为dp[j]
应用到本题中： dp[j]表示背包总容量为 j ，放入物品后，背的最大价值，即最大重量为dp[j]
那么当dp[target] == target时，背包就正好装满了 - ② 递推公式
01背包递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
本题中物品的重量和价值都是nums[i]
因此递推公式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]) - ③ 初始化
从dp[j]的定义来说，dp[0]初始化为0，因为题目给的的价值都是正整数，因此非0下标都初始化为0。如果题目给的价值有负数，那么非0下标要初始化为负无穷 - ④ 遍历顺序
先物品后背包容量，且背包容量逆序遍历 - ⑤ 举例
dp[j] <= j(一定成立)
如果dp[j] == j，那么集合可以被分为子集和相同的两个子集
输入[1, 5, 11, 5]
python3
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
if len(nums) == 1:
return False
_sum = sum(nums)
if _sum % 2 == 1: # 集合和为奇数
return False
target = _sum // 2
dp = [0] * (target + 1)
# 先物品后背包重量
for num in nums:
# 背包重量逆序遍历
for j in range(target, num - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)
return dp[-1] == target- 01背包更进一步修改贴合本题（dp值为True or False）
因为题目要求的是能否将数组分为和相等的两个集合，那么实际上dp数组的值可以为True or False。
动规五部曲
- ① dp及下标的含义
dp[j] ： 表示背包容量为 j 能否从集合中找到元素刚好填满背包，能否为dp[j] - ② 递推
考虑是否要将物品 i（即元素 i）加入背包中
1）如果不加入：dp[j] = dp[j]
2）如果加入：dp[j] = d[j - nums[i]]
因此dp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]（因为只要有一个成立就可以了） - ③ 初始化
dp[0] = True（背包为空，相当于可以从集合中找到元素刚好填满背包，即一个都不放），由递推公式dp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]得，下标非0应当初始化为False（False or x = x，这样让dp数组在遍历时求两个的or，而不是被初始值覆盖） - ④ 遍历顺序
即一维01背包遍历顺序。先物品后背包，背包容量逆序遍历 - ⑤ 举例
python3
"""
思路里面的一维dp数组
使用的是0和1，代表False和True
"""
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
if len(nums) == 1: # 只有一个元素
return False
sumNums = sum(nums)
if sumNums % 2 == 1: # 集合总和为奇数
return False
# 动态规划，是否能从集合中挑选出元素满足和为sumNums // 2
dp = [0] * (sumNums // 2 + 1)
dp[0] = 1 # 初始化
# 先遍历集合中的元素
for i in range(len(nums)):
for j in range(sumNums // 2, nums[i] - 1, -1):
dp[j] = (dp[j] or dp[j - nums[i]])
if dp[-1] == 1:
return True
else:
return False
"""
使用二维dp数组
需要注意的是dp数组的行数为len(nums) + 1，第0行没有物品，为空集。
- dp[i][j]为在集合[1, i]能否找到元素正好填满容量为j的背包,dp[i][j]为能否
- 递推公式为dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]
- 初始化：第0列初始化为True（背包为空），那么第0行如何初始化呢
- 如果第0行是物品1能否正好填满容量为j的背包，那么应当dp[0][nums[0]] = True，那么需要考虑到 nums[i] > j的情况。所以不如直接让第0行没有物品，为空集，初始化为False
- 因为第0行没有物品，因此物品从第1行开始，那么nums[i]对应第 i + 1行
"""
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
if len(nums) == 1:
return False
_sum = sum(nums)
if _sum % 2 == 1:
return False
target = _sum // 2
dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]
# 初始化
# 第0列应当为True（j = 0），第0行是没有物品，即空集的情况
for i in range(len(nums) + 1):
dp[i][0] = True
# 遍历递推
for i in range(1, len(nums) + 1):
for j in range(1, target + 1):
if j >= nums[i - 1]: # nums[i - 1]对应第 i 行
dp[i][j] = (dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]])
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
return dp[-1][-1]
感悟：
01背包思路用在其应用题上，需要明确dp、物品重量和价值分别是什么，以及动态规划五部曲
学习收获：
01背包问题的二维dp数组、一维dp数组以及01背包问题的应用