【深度学习】论文笔记：空间变换网络（Spatial Transformer Networks）

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------村上春树

本文是对Google DeepMind 团队2015年发表的空间变换网络STN的详细讲解，作为初学者也是参考了很多博客，都在本文末尾给出，感谢前辈们的努力。

空间变换网络 （Spatial Transformer Networks，简称STN）是一种深度学习 模型，旨在增强网络对几何变换的适应能力 。STN是由Max Jaderberg等人在2015年提出的，其核心思想是在传统的卷积神经网络（CNN）中嵌入一个可学习的模块，该模块能够显式地对输入图像进行空间变换，从而使得网络能够对输入图像的几何变形具有更好的适应性。STN的引入使得网络能够自动进行图像的校正，例如旋转、缩放、剪切等，这在很多视觉任务中是非常有用的，如图像识别、目标检测和图像分割等。

一、为什么提出（Why)

一个理想中的模型：我们希望鲁棒的图像处理模型具有空间不变性，当目标发生某种转化后，模型依然能给出同样的正确的结果
什么是空间不变性 ：举例来说，如下图所示，假设一个模型能准确把左图中的人物分类为凉宫春日，当这个目标做了放大、旋转、平移后，模型仍然能够正确分类，我们就说这个模型在这个任务上具有尺度不变性，旋转不变性，平移不变性
CNN在这方面的能力是不足的：maxpooling的机制给了CNN一点点这样的能力，当目标在池化单元内任意变换的话，激活的值可能是相同的，这就带来了一点点的不变性。但是池化单元一般都很小（一般是2*2），只有在深层的时候特征被处理成很小的feature map的时候这种情况才会发生
Spatial Transformer：本文提出的空间变换网络STN（Spatial Transformer Networks）STN可以使模型学习平移、缩放、旋转和更通用的扭曲的不变性。（二维空间变换网络）

二、STN是什么（What）

STN对feature map（包括输入图像）进行空间变换，输出一张新的图像。
我们希望STN对feature map进行变换后能把图像纠正到成理想的图像，然后丢进NN去识别，举例来说，如下图所示，输入模型的图像可能是摆着各种姿势，摆在不同位置的凉宫春日，我们希望STN把它纠正到图像的正中央，放大，占满整个屏幕，然后再丢进CNN去识别。
这个网络可以作为单独的模块，可以在CNN的任何地方插入（即插即用），所以STN的输入不止是输入图像，可以是CNN中间层的feature map

三、STN是怎么做的（How）

STN可以通过为每个输入样本生成适当的变换 来主动对图像（或特征图）进行空间变换。然后在整个特征图上（非局部）执行变换，并且可以包括缩放、裁剪、旋转以及非刚性变形。这使得包含空间变换器的网络不仅可以选择图像中最相关（注意力）的区域，还可以将这些区域转换为规范的预期姿势，以简化后续层中的推理。

如上图所示，STN的输入为 U U U，输出为 V V V，因为输入可能是中间层的feature map，所以画成了立方体（多channel），STN主要分为下述三个步骤

定位网络（Localization Network）：这一部分是STN的核心，其任务是学习输入图像的空间变换参数 。定位网络可以是任意的网络结构，它接受输入图像，并输出空间变换所需的参数 。这些参数定义了一个变换矩阵 ，用于调整图像的空间位置。(是一个自己定义的网络，它输入 U U U，输出变化参数 Θ \Theta Θ，这个参数用来映射 U U U和 V V V的坐标关系)。
网格生成器（Grid Generator）：接收定位网络输出的变换参数，并生成一个对应于输出图像的坐标网格 。这个坐标网格对应于输入图像中的每一个像素位置 。根据 V V V中的坐标点和变化参数 Θ \Theta Θ，计算出 U U U中的坐标点。这里是因为 V V V的大小是自己先定义好的，当然可以得到 V V V的所有坐标点，而填充 V V V 中每个坐标点的像素值的时候，要从 U U U中去取，所以根据 V V V中每个坐标点和变化参数 Θ \Theta Θ进行运算，得到一个坐标。在sampler中就是根据这个坐标去 U U U中找到像素值，这样子来填充 V V V
Sampler：要做的是填充 V V V，根据Grid generator得到的一系列坐标和原图 U U U（因为像素值要从 U U U中取）来填充，因为计算出来的坐标可能为小数，要用另外的方法来填充，比如双线性插值。从输入图像中采样像素来产生变换后的输出图像。这一步骤确保了图像的空间变换是可微分的，从而可以通过反向传播算法进行训练。

下面针对每个模块阐述一下

1、Localisation net

这个模块就是输入 U U U，输出一个变换参数 Θ \Theta Θ，那么这个 Θ \Theta Θ具体是指什么呢？

我们知道线性代数里，图像的平移，旋转和缩放都可以用矩阵运算来做

举例来说，如果想放大图像中的目标，可以这么运算，把(x,y)中的像素值填充到(x',y')上去，比如把原来(2,2)上的像素点，填充到(4,4)上去。

x ′ y ′ \] = \[ 2 0 0 2 \] \[ x y \] + \[ 0 0 \] \\begin{bmatrix}x\^{'}\\\\y\^{'}\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}2\&0\\\\0\&2\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}0\\\\0\\end{bmatrix} \[x′y′\]=\[2002\]\[xy\]+\[00

如果想旋转图像中的目标，可以这么运算（可以在极坐标系中推出来，证明放到最后的附录）

x ′ y ′ \] = \[ c o s Θ − s i n Θ s i n Θ c o s Θ \] \[ x y \] + \[ 0 0 \] \\begin{bmatrix}x\^{'}\\\\y\^{'}\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}cos\\Theta\&-sin\\Theta\\\\sin\\Theta\&cos\\Theta\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}0\\\\0\\end{bmatrix} \[x′y′\]=\[cosΘsinΘ−sinΘcosΘ\]\[xy\]+\[00

这些都是属于仿射变换（affine transformation）

x ′ y ′ \] = \[ a b c d \] \[ x y \] + \[ e f \] \\begin{bmatrix}x\^{\^{\\prime}}\\\\y\^{\^{\\prime}}\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}a\&b\\\\c\&d\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\end{bmatrix}+\\begin{bmatrix}e\\\\f\\end{bmatrix} \[x′y′\]=\[acbd\]\[xy\]+\[ef

在仿射变化中，变化参数就是这6个变量， Θ = { a , b , c , d , e , f } (此 Θ 跟上述旋转变化里的角度 Θ 无关) \Theta=\{a,b,c,d,e,f\}\text{(此}\Theta\text{跟上述旋转变化里的角度}\Theta\text{无关)} Θ={a,b,c,d,e,f}(此Θ跟上述旋转变化里的角度Θ无关)

这6个变量就是用来映射输入图和输出图之间的坐标点的关系的，我们在第二步grid generator就要根据这个变化参数，来获取原图的坐标点。

总结如下：

功能：定位网络的主要任务是预测空间变换的参数。根据输入图像，这个网络会输出一组参数，这些参数定义了一个空间变换，可以是平移、旋转、缩放等或者更复杂的仿射变换或者非线性变换。
结构：定位网络通常是一个小型的卷积神经网络 或全连接网络，其具体结构可以根据任务的复杂度和输入数据的特性来定制。网络的输出大小是固定的，对应于特定变换所需的参数数量。

2、Grid generator

有了第一步的变化参数，这一步是做个矩阵运算，这个运算是以目标图 V V V的所有坐标点为自变量，以为参数做一个矩阵运算，得到输入图 U U U的坐标点

( x i s y i s ) = Θ ( x i t y i t 1 ) = [ Θ 11 Θ 12 Θ 13 Θ 21 Θ 22 Θ 23 ] ( x i t y i t 1 ) \begin{pmatrix}x_i^s\\y_i^s\end{pmatrix}=\Theta\begin{pmatrix}x_i^t\\y_i^t\\1\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\Theta_{11}&\Theta_{12}&\Theta_{13}\\\Theta_{21}&\Theta_{22}&\Theta_{23}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_i^t\\y_i^t\\1\end{pmatrix} (xisyis)=Θ xityit1 =[Θ11Θ21Θ12Θ22Θ13Θ23] xityit1

其中 ( x i t , y i ) 记为输出图 V 中的第 i 个坐标点， V 中的长宽可以和 U 不一样，自己定义的，所以这里用 i 来标识第几个坐标点 ( x i s , y i ) {(x_{i}{t},y_{i})} 记为输出图 V 中的第 i 个坐标点， V 中的长宽可以和 U 不一样，自己定义的，所以这里用 i 来标识第几个坐标点 {(x_{i}{s},y_{i})} (xit,yi)记为输出图V中的第i个坐标点，V中的长宽可以和U不一样，自己定义的，所以这里用i来标识第几个坐标点(xis,yi)

功能：网格生成器接收定位网络预测的变换参数，并生成一个坐标网格 ，该网格代表了输入图像中每个像素映射到输出图像中的新位置。
原理：对于每个输出图像的像素位置，网格生成器使用变换参数来计算对应的输入图像中的坐标。这一过程通常涉及到矩阵运算，用于实现平移、旋转、缩放等仿射变换。

3、Sampler

由于在第二步计算出了V中每个点对应到U的坐标点，在这一步就可以直接根据V的坐标点取得对应到U中坐标点的像素值来进行填充，而不需要经过矩阵运算。需要注意的是，填充并不是直接填充，首先计算出来的坐标可能是小数，要处理一下，其次填充的时候往往要考虑周围的其它像素值。填充根据的公式如下。

V i = ∑ n ∑ m U n m ∗ k ( x i s − m ; ϕ x ) ∗ k ( y i s − n ; ϕ y ) V_i=\sum_n\sum_mU_{nm}*k(x_i^s-m;\phi_x)*k(y_i^s-n;\phi_y) Vi=n∑m∑Unm∗k(xis−m;ϕx)∗k(yis−n;ϕy)

举例来说，我要填充目标图V中的（2，2）这个点的像素值，经过以下计算得到（1.6，2.4）

( x i s y i s ) = [ Θ 11 Θ 12 Θ 13 Θ 21 Θ 22 Θ 23 ] ( x i t y i t 1 ) ( 1.6 2.4 ) = [ 0 0.5 0.6 1 0 0.4 ] ( 2 2 1 ) \begin{gathered}\begin{pmatrix}x_i^s\\y_i^s\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\Theta_{11}&\Theta_{12}&\Theta_{13}\\\Theta_{21}&\Theta_{22}&\Theta_{23}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_i^t\\y_i^t\\1\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}1.6\\2.4\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}0&0.5&0.6\\1&0&0.4\end{bmatrix}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\end{gathered} (xisyis)=[Θ11Θ21Θ12Θ22Θ13Θ23] xityit1 (1.62.4)=[010.500.60.4] 221

如果四舍五入后直接填充，则难以做梯度下降。

我们知道做梯度下降时，梯度的表现就是权重发生一点点变化的时候，输出的变化会如何。

如果用四舍五入后直接填充，那么（1.6，2.4）四舍五入后变成（2，2）当 Θ \Theta Θ（我们求导的时候是需要对 Θ \Theta Θ求导的）有一点点变化的时候，（1.6，2.4）可能变成了（1.9，2.1）四舍五入后还是变成（2，2），输出并没有变化，对 Θ \Theta Θ的梯度没有改变，这个时候没法用梯度下降来优化 Θ \Theta Θ

如果采用上面双线性插值的公式来填充，在这个例子里就会考虑（2，2）周围的四个点来填充，这样子，当 Θ \Theta Θ有一点点变化的时，式子的输出就会有变化，因为 ( x i s , y i ) (x_{i}{s},y_{i}) (xis,yi)的变化会引起V的变化。注意下式中U的下标，第一个下标是纵坐标，第二个下标才是横坐标。

V = U 21 ( 1 − 0.6 ) ( 1 − 0.4 ) + U 22 ( 1 − 0.4 ) ( 1 − 0.4 ) + U 31 ( 1 − 0.6 ) ( 1 − 0.6 ) + U 32 ( 1 − 0.4 ) ( 1 − 0.6 ) V=U_{21}(1-0.6)(1-0.4)+U_{22}(1-0.4)(1-0.4)+U_{31}(1-0.6)(1-0.6)+U_{32}(1-0.4)(1-0.6) V=U21(1−0.6)(1−0.4)+U22(1−0.4)(1−0.4)+U31(1−0.6)(1−0.6)+U32(1−0.4)(1−0.6)

4、STN小结

简单总结一下，如下图所示

Localization net根据输入图，计算得到一个Θ
Grid generator根据输出图的坐标点和Θ，计算出输入图的坐标点，举例来说想知道输出图上（2，2）应该填充什么坐标点，则跟Θ 运算，得到（1.6，2.4）
Sampler根据自己定义的填充规则（一般用双线性插值）来填充，比如（2，2）坐标对应到输入图上的坐标为（1.6，2.4），那么就要根据输入图上（1.6，2.4）周围的四个坐标点（1，2），（1，3），（2，2），（2，3）的像素值来填充。

四、STN模块的pytorch实现

这里我们假设Mnist数据集作为网络输入:

(1)首先定义Localisation net的特征提取部分,为两个Conv层后接Maxpool和Relu操作:

(2)定义Localisation net的变换参数θ回归 部分,为两层全连接层内接Relu:

(3)在nn.module的继承类中定义完整的STN模块操作:

五、空间变换网络的实际应用

1、STN作为网络的第一层

2、STN插入CNN 的中间层

六、评价

思想非常巧妙，因为卷积神经网络中的池化层（pooling layer）直接用一些max pooling 或者average pooling 的方法，将图片信息压缩，减少运算量提升准确率。

作者认为之前pooling的方法太过于暴力，直接将信息合并会导致关键信息无法识别出来，所以提出了一个叫空间转换器（spatial transformer）的模块，将图片中的的空间域信息做对应的空间变换 ，从而能将关键的信息提取出来。

Unlike pooling layers, where the receptive fields are fixed and local, the spatial transformer module is a dynamic mechanism that can actively spatially transform an image (or a feature map) by producing an appropriate transformation for each input sample.

空间转换器模型直观的实验图：

(a)列是原始的图片信息，其中第一个手写数字7没有做任何变换，第二个手写数字5，做了一定的旋转变化，而第三个手写数字6，加上了一些噪声信号；这些变化都是随机的

(b)列中的彩色边框是学习到的spatial transformer的框盒（bounding box），每一个框盒其实就是对应图片学习出来的一个spatial transformer；

🪧©列中是通过spatial transformer转换之后的特征图，可以看出7的关键区域被选择出来，5被旋转成为了正向的图片，6的噪声信息没有被识别进入。

(d)列最终可以通过这些转换后的特征图来预测出中手写数字的数值。

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| 🌱spatial transformer其实就是注意力机制的实现，因为训练出的spatial transformer能够找出图片信息中需要被关注的区域，同时这个transformer又能够具有旋转、缩放变换的功能，这样图片局部的重要信息能够通过变换而被框盒提取出来。🌱 |

参考

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