首先α β 在0-pi/2内，这样就可以取值0-1，满足了单位化的要求
每个向量的模由α和β定义，αβ定义模的时候只限制在0--pi/2，由画图可知不可正交
为了验证矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列是否正交，我们需要计算这两个列向量的内积，并检查它是否等于零。
矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列分别是：
第一列：
cos α 1 e j ϕ 1 sin α 1 cos β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) sin α 1 sin β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) \begin{bmatrix} \cos \alpha_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_1} \\ \sin \alpha_1 \cos \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \\ \sin \alpha_1 \sin \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \end{bmatrix} cosα1ejϕ1sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1)sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1)
第二列：
cos α 2 e j ϕ 2 sin α 2 cos β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) sin α 2 sin β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) \begin{bmatrix} \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} \\ \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} \\ \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \end{bmatrix} cosα2ejϕ2sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2)sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2)
内积定义为两个向量对应元素乘积的和，对于复数向量，内积还需要考虑共轭。因此，第一列和第二列的内积为：
( cos α 1 e j ϕ 1 ) ∗ ( cos α 2 e j ϕ 2 ) + ( sin α 1 cos β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin α 2 cos β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) ) + ( sin α 1 sin β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin α 2 sin β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) ) \begin{aligned} &\left( \cos \alpha_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_1} \right)^\ast \left( \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} \right) + \\ &\left( \sin \alpha_1 \cos \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \right)^\ast \left( \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} \right) + \\ &\left( \sin \alpha_1 \sin \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \right)^\ast \left( \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \right) \end{aligned} (cosα1ejϕ1)∗(cosα2ejϕ2)+(sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1))∗(sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2))+(sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1))∗(sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2))
将共轭应用于每个复数项，我们得到：
cos α 1 cos α 2 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 + sin α 1 cos β 1 sin α 2 cos β 2 e − j ( δ 1 + ϕ 1 ) e j ( δ 2 + ϕ 2 ) + sin α 1 sin β 1 sin α 2 sin β 2 e − j ( γ 1 + ϕ 1 ) e j ( γ 2 + ϕ 2 ) \begin{aligned} &\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} + \\ &\sin \alpha_1 \cos \beta_1 \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} + \\ &\sin \alpha_1 \sin \beta_1 \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \end{aligned} cosα1cosα2e−jϕ1ejϕ2+sinα1cosβ1sinα2cosβ2e−j(δ1+ϕ1)ej(δ2+ϕ2)+sinα1sinβ1sinα2sinβ2e−j(γ1+ϕ1)ej(γ2+ϕ2)
由于 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 = e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} = \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\phi_2 - \phi_1)} e−jϕ1ejϕ2=ej(ϕ2−ϕ1)，我们可以将上式简化为：
cos α 1 cos α 2 e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin α 1 sin α 2 cos β 1 cos β 2 e j ( δ 2 − δ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin α 1 sin α 2 sin β 1 sin β 2 e j ( γ 2 − γ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\phi_2 - \phi_1)} + \sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \cos \beta_1 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2 - \delta_1 + \phi_2 - \phi_1)} + \sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \sin \beta_1 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2 - \gamma_1 + \phi_2 - \phi_1)} cosα1cosα2ej(ϕ2−ϕ1)+sinα1sinα2cosβ1cosβ2ej(δ2−δ1+ϕ2−ϕ1)+sinα1sinα2sinβ1sinβ2ej(γ2−γ1+ϕ2−ϕ1)
这样可见，想使这个两个向量正交，内积等于0，就是内积的模 = 0 。绝对相位Φ2-Φ1不影响正交，其他的相位有影响，参数之间不独立
举例：
T3矩阵在S矩阵是对角阵时的参数化
同理，满足反射对称性时，T矩阵如下，再是秩等于1，则T3矩阵参数化和上面一样 