首先α β 在0-pi/2内，这样就可以取值0-1，满足了单位化的要求
每个向量的模由α和β定义，αβ定义模的时候只限制在0--pi/2，由画图可知不可正交
为了验证矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列是否正交，我们需要计算这两个列向量的内积，并检查它是否等于零。
矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列分别是：
第一列：
cos α 1 e j ϕ 1 sin α 1 cos β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) sin α 1 sin β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) \] \\begin{bmatrix} \\cos \\alpha_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_1} \\\\ \\sin \\alpha_1 \\cos \\beta_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_1+\\phi_1)} \\\\ \\sin \\alpha_1 \\sin \\beta_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_1+\\phi_1)} \\end{bmatrix} cosα1ejϕ1sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1)sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1) 第二列： \[ cos α 2 e j ϕ 2 sin α 2 cos β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) sin α 2 sin β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) \] \\begin{bmatrix} \\cos \\alpha_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_2} \\\\ \\sin \\alpha_2 \\cos \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_2+\\phi_2)} \\\\ \\sin \\alpha_2 \\sin \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_2+\\phi_2)} \\end{bmatrix} cosα2ejϕ2sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2)sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2) 内积定义为两个向量对应元素乘积的和，对于复数向量，内积还需要考虑共轭。因此，第一列和第二列的内积为： ( cos α 1 e j ϕ 1 ) ∗ ( cos α 2 e j ϕ 2 ) + ( sin α 1 cos β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin α 2 cos β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) ) + ( sin α 1 sin β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin α 2 sin β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) ) \\begin{aligned} \&\\left( \\cos \\alpha_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_1} \\right)\^\\ast \\left( \\cos \\alpha_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_2} \\right) + \\\\ \&\\left( \\sin \\alpha_1 \\cos \\beta_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_1+\\phi_1)} \\right)\^\\ast \\left( \\sin \\alpha_2 \\cos \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_2+\\phi_2)} \\right) + \\\\ \&\\left( \\sin \\alpha_1 \\sin \\beta_1 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_1+\\phi_1)} \\right)\^\\ast \\left( \\sin \\alpha_2 \\sin \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_2+\\phi_2)} \\right) \\end{aligned} (cosα1ejϕ1)∗(cosα2ejϕ2)+(sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1))∗(sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2))+(sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1))∗(sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2)) 将共轭应用于每个复数项，我们得到： cos α 1 cos α 2 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 + sin α 1 cos β 1 sin α 2 cos β 2 e − j ( δ 1 + ϕ 1 ) e j ( δ 2 + ϕ 2 ) + sin α 1 sin β 1 sin α 2 sin β 2 e − j ( γ 1 + ϕ 1 ) e j ( γ 2 + ϕ 2 ) \\begin{aligned} \&\\cos \\alpha_1 \\cos \\alpha_2 \\mathrm{e}\^{-\\mathrm{j} \\phi_1} \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_2} + \\\\ \&\\sin \\alpha_1 \\cos \\beta_1 \\sin \\alpha_2 \\cos \\beta_2 \\mathrm{e}\^{-\\mathrm{j}(\\delta_1+\\phi_1)} \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_2+\\phi_2)} + \\\\ \&\\sin \\alpha_1 \\sin \\beta_1 \\sin \\alpha_2 \\sin \\beta_2 \\mathrm{e}\^{-\\mathrm{j}(\\gamma_1+\\phi_1)} \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_2+\\phi_2)} \\end{aligned} cosα1cosα2e−jϕ1ejϕ2+sinα1cosβ1sinα2cosβ2e−j(δ1+ϕ1)ej(δ2+ϕ2)+sinα1sinβ1sinα2sinβ2e−j(γ1+ϕ1)ej(γ2+ϕ2) 由于 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 = e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) \\mathrm{e}\^{-\\mathrm{j} \\phi_1} \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j} \\phi_2} = \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\phi_2 - \\phi_1)} e−jϕ1ejϕ2=ej(ϕ2−ϕ1)，我们可以将上式简化为： cos α 1 cos α 2 e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin α 1 sin α 2 cos β 1 cos β 2 e j ( δ 2 − δ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin α 1 sin α 2 sin β 1 sin β 2 e j ( γ 2 − γ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) \\cos \\alpha_1 \\cos \\alpha_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\phi_2 - \\phi_1)} + \\sin \\alpha_1 \\sin \\alpha_2 \\cos \\beta_1 \\cos \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\delta_2 - \\delta_1 + \\phi_2 - \\phi_1)} + \\sin \\alpha_1 \\sin \\alpha_2 \\sin \\beta_1 \\sin \\beta_2 \\mathrm{e}\^{\\mathrm{j}(\\gamma_2 - \\gamma_1 + \\phi_2 - \\phi_1)} cosα1cosα2ej(ϕ2−ϕ1)+sinα1sinα2cosβ1cosβ2ej(δ2−δ1+ϕ2−ϕ1)+sinα1sinα2sinβ1sinβ2ej(γ2−γ1+ϕ2−ϕ1) 这样可见，想使这个两个向量正交，内积等于0，就是内积的模 = 0 。绝对相位Φ2-Φ1不影响正交，其他的相位有影响，参数之间不独立 举例： T3矩阵在S矩阵是对角阵时的参数化  同理，满足反射对称性时，T矩阵如下，再是秩等于1，则T3矩阵参数化和上面一样 