多目标优化算法：多目标鹅算法(MOGOOSE)求解UF1-UF10，提供完整MATLAB代码

一、鹅算法GOOSE

鹅算法（Goose Algorithm，简称GOOSE）是一种新型的元启发式算法，灵感来源于鹅在休息和觅食时的行为。GOOSE算法由Rebwar Khalid Hamad等人于2024年1月发表在Springer旗下的非开源SCI期刊《Evolving Systems》上。该算法通过模拟鹅在休息和觅食时的行为来寻找最优解，具有实现简单、易于改进的特点，没有特别复杂的公式，也没有混合策略，适合新手使用。

算法描述

GOOSE算法的灵感来源于鹅在休息期间的行为，如鹅成群结队地聚集在一起，其中一只靠一条腿保持平衡，以及鹅在觅食时的行为，例如鹅会发出响亮的鸣叫声提醒同伴注意安全。算法通过自适应地调整搜索空间的分辨率和搜索速度，以快速而准确地找到最优解，具有收敛速度快、求解精度高等特点。

算法步骤

种群初始化：GOOSE首先初始化种群，也称为X矩阵，其中鹅的位置表示为X。在初始化种群后，剔除超出搜索空间的搜索代理，并通过标准化的基准函数在每次迭代中确定每个搜索代理的适合度。
开发和勘探过程：算法通过使用条件和随机变量来平衡勘探和开发阶段。使用指定的随机变量给出了在GOOSE中开发或勘探的50%概率作为"rnd"。按照顺序，迭代使用条件在探索和开发之间平均分配。
- 开发阶段：在开发阶段，算法会模拟鹅在觅食时的行为，例如寻找鹅储存在脚里的石头的重量，并估计石头落下时到达地球所需的时间。
- 勘探阶段：在鹅的行为中，若其中一只鹅一醒来，就开始尖叫以保护群中的所有个体，此时开始进入勘探阶段。如果变量rnd的值小于0.5，则应用勘探阶段的方程。

参考文献

[1]Hamad R K, Rashid T A. GOOSE algorithm: a powerful optimization tool for real-world engineering challenges and beyond[J]. Evolving Systems, 2024: 1-26.

二、多目标鹅算法(MOGOOSE)

由于鹅算法GOOSE仅能求解单目标优化问题，为了求解多目标优化问题，本文提出多目标鹅算法（Multi-objective GOOSE Algorithm，MOGOOSE）。MOGOOSE是GOOSE算法的多目标变体，能够有效求解多目标优化问题，为了检验本文所提算法的性能，将其应用于基准函数UF1-UF10的求解，并采用六种性能评价指标(GD、IGD、HV、Spacing、Spread、Coverage)对所提算法的收敛性和多样性进行有效评估。

MOGOOSE首先对种群进行初始化，采取随机初始化方式。其次，算法对初始化的种群进行筛选并利用筛选的后代交配产生子代个体。接着，利用环境选择算子对子代进行筛选以便进行下一轮迭代。直到满足算法的终止条件，最后一次环境选择出来的所有个体即为最终的近似 Pareto 解集。环境选择算子的作用主要用于子代个体的选择，被选择的个体能够支配种群中的其他个体或者互相不支配，称其为精英个体。通过算法的迭代运算，每次均选出精英个体，反复如此即可求得问题的解。

2.1、六种性能评价指标介绍

Generational Distance (GD)：
- GD是衡量算法生成的非支配解集与真实帕累托前沿之间距离的指标。它计算非支配解集中每个解到最近真实帕累托前沿解的欧氏距离的平均值。GD值越小，表示算法的收敛性越好，即解集越接近真实帕累托前沿。
Inverted Generational Distance (IGD)：
- IGD同时考虑了算法的收敛性和多样性。它计算真实帕累托前沿中的每个解到非支配解集中最近解的欧氏距离的平均值。IGD值越小，表示算法的性能越好，即解集在多样性和收敛性上都更接近真实帕累托前沿。
Hypervolume (HV)：
- HV指标衡量目标空间被非支配解集覆盖的程度。它需要一个参考点，通常是各个目标上的最大值形成的向量。HV值是算法求解得到的非占优解集与参考点之间形成的超立方体的体积。HV值越大，表示算法的收敛性和多样性越好。
Spacing：
- Spacing是衡量解集中各个解之间分布均匀性的指标。它计算解集中每个解到其他解的最小距离的标准差。Spacing值越小，说明解集的分布越均匀。
Spread：
- Spread衡量解集在目标空间中的分布范围。它通常通过计算解集中最远两个解之间的距离来衡量。Spread值越大，表示解集的分布范围越广。
Coverage：
- Coverage指标用于衡量一个解集对另一个解集的覆盖能力。如果解集A的Coverage指标高于解集B，那么意味着解集A在某种程度上能够被解集B覆盖。这个指标通常用于比较两个解集的相对性能。

2.2、部分MATLAB代码

bash 复制代码

%% 参数说明
%testProblem 测试问题序号
%Name 测试问题名称
%dim 测试问题维度
%numObj测试问题目标函数个数
%lb测试问题下界
%ub测试问题上界
%SearchAgents_no 种群大小
%Max_iter最大迭代次数
%Fbest 算法求得的POF
%Xbest 算法求得的POS
%TurePF 测试问题的真实pareto前沿
%Result 评价指标随迭代次数的变化值
testProblem=22;
[Name,dim,numObj,lb,ub]=GetProblemInfo(testProblem);%获取测试问题的相关信息
SearchAgents_no=200;%种群大小 
Max_iter=200;%最大迭代次数
[Fbest,Xbest,TurePF,Result] = MOGOOSE(Max_iter,SearchAgents_no,Name,dim,numObj,lb,ub);%算法求解

2.3、部分结果

三、完整MATLAB代码

见下方名片