高阶数据结构——图

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前言

一、并查集

1、并查集概念

2、并查集的实现

二、图的概念

三、邻接矩阵、邻接表的存储

1、邻接矩阵

写过注释了，就不展开解释了。

2、邻接表

四、图的遍历

1、广度优先遍历

2、深度优先遍历

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前言

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一、并查集

1、并查集概念

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个 单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一 个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。

如果说有一个森林，我们想要将它在数组中找到对应的关系因该怎么做呢？

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。

仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号

2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数

3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合

沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

2. 查看两个元素是否属于同一个集合

沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在3. 将两个集合归并成一个集合

两个集合中的元素合并

将一个集合名称改成另一个集合的名称

4. 集合的个数

遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数

2、并查集的实现

原理：下标对应的数是负数就为父亲节点；然后让孩子的值加到父亲上去，孩子节点记录父亲节点的下标；

代码实现：

#pragma once
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;

class UnionFindSet
{
public:
	UnionFindSet(size_t n)
		:_Set(n,-1)
	{}
	//映射关系
	//下标等价于名字,下标存储的值为根
	size_t FindRoot(int x)
	{
		int root = x;
		while (_Set[root]>0)
		{
			root = _Set[root];
		}
		return root;

	}

	//合并两棵树
	void Union(int x1, int x2)
	{
		//合并两个数，将它们的根节点合并在一起；将节点少的的合并到节点多的里面、
		size_t root1 = FindRoot(x1);
		size_t root2 = FindRoot(x2);
		//找到了两数的根，将两个数的根合并
		//找对比节点个数，root对应的下标的绝对值为节点个数
		if (abs(_Set[root1]) < abs(_Set[root2]))
		{
			swap(root1, root2);
		}
		//root1大于root2
		//将root2加到root1
		//root2的指向root1
		_Set[root1] += _Set[root2];
		_Set[root2] = root1;
	}
	//统计根的个数
	size_t SetCount()
	{
		int count = 0;
		for (int i = 0; i < _Set.size(); i++)
		{
			if (_Set[i] < 0) count++;
		}
		return count;
	}
private:
	vector<int> _Set;//定于一个数组
};
void TestUFS()
{
	UnionFindSet u(10);
	u.Union(0, 6);
	u.Union(7, 6);
	u.Union(7, 8);
	u.Union(1, 4);
	u.Union(4, 9);
	u.Union(2, 3);
	u.Union(2, 5);
	cout << u.SetCount() << endl;
}

代码都有注释，就不再多数了。

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省份数量

二、图的概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫 做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即 Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间 有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对是有序的，顶点对称为顶点x到顶点y的一条 边(弧)，和是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。

在无向图中，顶点对(x, y) 是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x) 是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边和。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边， 则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个 顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依 附于顶点u和v；在有向图G中，若是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶 点u，并称边与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶 点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度 是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。

注 意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶 点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一 条路 径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若 路径上各顶点v1，v2，v3，...，vm均不重复，则称这样的路径为简单路 径。若路 径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任 意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj 到 vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点 和n-1条边。

三、邻接矩阵、邻接表的存储

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和 边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

1、邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一 个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意： 1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一 定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个 顶点不通，则使用无穷大代替

3. 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比 较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路 径不是很好求。

//邻接矩阵
namespace Matrix
{
	template<class V,class W ,W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false >
	class Graph
	{
	public:
		typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;
		Graph() = default;
		Graph(const V* vertexs, size_t n)
		{
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(vectexs[i]);//将名字存进来
				_vIndexMap[vertexs[i]] = i;//将名字的下标映射出来
			}
			_matrix.resize(n);//开辟n*n矩阵
			for (auto e : _matrix)
			{
				e.resize(n, MAX_W);//初始化为最大值，也就是无边
			}
		}
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto ret = _matrix.find(v);//在map里面找v的映射的下标
			if (ret != _matrix.end())
			{
				return ret->secont;
			}
			else
			{
				throw invalid_argument("不存在顶点");
				return -1;
			}
		}
		void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		{
			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)//说明无向边
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
		}
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			//连接两个节点
			//向知道他们的下标
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dat);
			//然后存储到矩阵中
			_AddEdge(srci, dsti, w);
		}
		void BFS(const V& src)
		{

		}
		void _DFS(size_t srcIndex, vector<bool>& visited)
		{}
		void DFS(const V& src)
		{}
		void Print()
		{}





	private:
		//需要一个矩阵存储元素之间的关系
		vector<vector<W>> _matrix;
		//存储需要存储的数据名，因为矩阵的下标都是数字
		vector<V> _vertexs; 
		//映射下标,用来通过名字找下标的
		map<V, int> _vIndexMap;
	};
}

写过注释了，就不展开解释了。

2、邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1. 无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点 vi边链表集合中结点的数目即可。

2. 有向图邻接表存储

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就 是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链 表，看有多少边顶点的dst取值是i。

// 临接表
namespace LinkTable
{
	//邻接表的结构和哈希桶相似
	template<class W>
	struct LinkEdge
	{
		int _srcIndex;
		int _dstIndex;
		W _w;
		LinkEdge<W>* _next;
		LinkEdge(const W& w)
			: _srcIndex(-1)
			, _dstIndex(-1)
			, _w(w)
			, _next(nullptr)
		{}
	};
	template<class V, class W, bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		Graph(const V* vertexs, size_t n)//和邻接矩阵初始化一样
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(vertexs[i]);
				_vIndexMap[vertexs[i]] = i;
			}

			_linkTable.resize(n, nullptr);
		}

		size_t GetVertexIndex(const V& v)//找名字的下标
		{
			auto ret = _vIndexMap.find(v);
			if (ret != _vIndexMap.end())
			{
				return ret->second;
			}
			else
			{
				throw invalid_argument("不存在的顶点");
				return -1;
			}
		}

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			//找到两个名字映射的下标
			size_t srcindex = GetVertexIndex(src);
			size_t dstindex = GetVertexIndex(dst);
			
			//有向边 
			// 0 1
			Edge* sd_edge = new Edge(w);//实例化节点
			sd_edge->_srcIndex = srcindex;
			sd_edge->_dstIndex = dstindex;
			sd_edge->_next = _linkTable[srcindex];
			_linkTable[srcindex] = sd_edge;

			// 1 0
			// 无向图
			if (Direction == false)
			{
				Edge* ds_edge = new Edge(w);
				ds_edge->_srcIndex = dstindex;
				ds_edge->_dstIndex = srcindex;
				ds_edge->_next = _linkTable[dstindex];
				_linkTable[dstindex] = ds_edge;
			}
		}
	private:
		map<string, int> _vIndexMap;	//通过字符串找下标
		vector<V> _vertexs;			 // 顶点集合
		vector<Edge*> _linkTable;    // 边的集合的临接表
	};
	void TestGraph()
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
		Graph<string, int> g1(a, 4);
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
	}
}

原理和哈希桶一样

哈希桶

四、图的遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶 点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。

请思考树以前是怎么遍历的，此处可以直接用来遍历图吗？为什么？

1、广度优先遍历

大家看这两张图片还有遍历这个概念有没有想到树的遍历，我们树分为前、中、后序遍历，还有层序遍历，而这个广度优先遍历就有层序遍历的感觉。

其实二叉树就是特殊的图，而不能说图就是树。

回忆树的层序遍历，思考：如何防止节点被重复遍历

力扣的二叉树的层序遍历：

102. 二叉树的层序遍历

代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
        int sizen=0;
        queue<TreeNode*> q;
        if(root)
        {
            q.push(root);
            sizen++;
        }
        vector<vector<int>> vv;
        int leve=0;
        while(!q.empty())
        {
            vector<int> v;
            while(sizen--)
            {
                TreeNode* front=q.front();
                q.pop();
                v.push_back(front->val);
              
                if(front->left)
                {
                    q.push(front->left);
                }
                if(front->right)
                {
                    q.push(front->right);
                }
            }
            vv.push_back(v);
            sizen=q.size();
        }
        return vv;
    }
};

原理我们运用了队列，出栈时，将自己的孩子节点带进队列；

好了回归广度优先遍历

	void BFS(const V& src)
	{
		size_t srcindex = GetVertexIndex(src);
		vector<bool> visited;//创建一个数组用来记录哪些数据是被访问过的，避免了重复访问
		visited.resize(_vertexs.size(), false);
		queue<int> q;//创建队列
		q.push(srcindex);//想让根节点出队列
		visited[srcindex] = true;//根被访问过了标记一下
		size_t d = 1;
		size_t dSize = 1;
		//核心算法
		while (!queue.empty())
		{
			printf("%s的%d度好友:", src.c_str(), d);

			while (dSize--)
			{
				size_t front = q.front();//记录队头下表，也就是出队元素下标
				q.pop();
				for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
				{
					if (visited[i] == false && _matrix[front][i] != MAX_W)//如果没有被访问，并且是连接节点就入队列
					{
						printf("[%d:%s] ", i, _vertexs[i].c_str());
						visited[i] = true;//访问过了标记
						q.push(i);//
					}
				}
			}
		}
		cout << endl;

		dSize = q.size();
		++d;
		cout << endl;
	}

2、深度优先遍历

这就是树的递归遍历的思想

		void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
		{
			cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;//打印节点信息
			visited[srci] = true;//访问记录

			// 找一个srci相邻的没有访问过的点，去往深度遍历
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)//遍历数组所对应的行，也就有边的节点，看那么没有访问
				{
					_DFS(i, visited);
				}
			}
		}

		void DFS(const V& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);//找下标
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);//建立标识表，用于记录访问过的节点
			_DFS(srci, visited);
		}

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