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五、新限制条款证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质
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投资决策是金融领域中极具挑战性和复杂性的问题之一。如何在多变的市场环境中制定最优投资策略，以实现长期的最大化回报，是每个投资者关心的核心问题。
一、投资策略规划问题详细
你所掌握的算法知识帮助你从Acme计算机公司获得了一份令人兴奋的工作，签约奖金1万美元。你决定利用这笔钱进行投资，目标是10年后获得最大回报。你决定请Amalgamated投资公司管理你的投资，该公司的投资回报规则如下：
该公司提供 n 种不同的投资产品，从 1~n 编号。在第 j 年，第 i 种投资产品的回报率为。换句话说，如果你在第 j 年在第 i 种投资产品投入 d 美元，那么在第 j 年年底，你会得到
美元。回报率是有保证的，即未来10年每种投资产品的回报率均已知。你每年只能做出一次投资决定。在每年年底，你既可以将钱继续投入到上一年选择的投资产品中，也可以转移到其他投资产品中（转移到已有的投资产品，或者新的投资产品）。如果跨年时你不做投资转移，需要支付
美元的费用。否则，需要支付
美元的费用，其中
。
a. 如上所述，本问题允许你每年将钱投入到多种投资产品中。证明：存在最优投资策略，每年都将所有钱投入到单一投资产品中（记住最优投资策略只需最大化10年的回报，无需关心任何其他目标，如最小化风险）。
b. 证明：规划最优投资策略问题具有最优子结构性质。
c. 设计最优投资策略规划算法，分析算法时间复杂度。
d. 假定Amalgamated投资公司在上述规则上又加入了新的限制条款，在任何时刻你都不能在任何单一投资产品中投入15000美元以上。证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质。
二、存在最优投资策略：每年都将所有钱投入到单一投资产品中
这个问题可以通过动态规划来解决。我们首先定义一个状态表示，以便在每个决策点上找到最优的投资策略。
假设我们定义 dp[i][j] 表示在第 i 年选择第 j 种投资产品所能获得的最大回报。我们需要递归地计算这些状态，并考虑到不同投资产品之间的转移费用。
（一）状态转移方程
为了计算 dp[i][j] ，我们需要考虑两种情况：
- 继续投资于同一个产品。
- 转移投资到不同的产品。
因此，我们有：
其中：
是第 i−1 年第 k 种投资产品的回报率。
（二）初始条件与最优策略
对于初始年份，我们假设初始投入金额为 d：
通过上述状态转移方程，我们可以构建一个 dp 数组，并逐步填充每一年的最优投资策略。最终的答案是：
（三）证明最优策略总是将所有钱投入到单一投资产品中
为了证明存在最优策略每年将所有钱投入到单一投资产品中，我们注意到：
- 在每个时间点上，我们通过动态规划的状态转移方程求得了每一年中每个投资产品的最优决策。
- 如果存在一种最优策略每年将钱分散到多个投资产品，那么这些策略的收益可以通过组合这些投资产品的单一投资策略来模拟。因此，总存在一种单一投资策略与分散投资策略具有相同或更高的回报。
- 因此，通过动态规划找到的最优策略，本质上每年都会选择一个最优的单一投资产品来最大化回报。
综上所述，基于动态规划求解，我们总能找到每年投入单一投资产品的最优策略，从而最大化10年的总回报。
三、证明：规划最优投资策略问题具有最优子结构性质
（一）问题描述和基本假设
我们有 n 种投资产品，每种产品在每年的回报率为 。我们每年只能选择一种产品进行投资，并且在转换投资产品时需要支付不同的费用
（不转换）和
（转换）。
最优子结构性质意味着，一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
（二）直观证明
我们从最优解的角度出发，考虑最后一年的投资决策，然后向前推导每一年的投资决策。
假设在第 10 年，我们的投资产品选择是最优的。如果我们选择在第 10 年投资产品 j，这意味着从第 9 年到第 10 年的投资决策也是最优的。
假设在第 9 年，我们选择了投资产品 i，并在第 10 年转移到投资产品 j。那么，最优策略必须保证第 9 年的投资产品 i 是在第 8 年的最优决策基础上选择的。
我们考虑第 8 年的投资决策，如果第 9 年投资产品 i 是最优的，那么第 8 年的投资决策也是在所有可能的投资产品中选择的最优方案。
我们可以递归地推导到第 1 年，保证每年的投资决策都是基于前一年最优选择的结果。
假设有 3 种投资产品（A、B、C），每年的回报率如下：
| 年份 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.1 | 1.2 | 1.3 |
| 2 | 1.3 | 1.1 | 1.2 |
| 3 | 1.2 | 1.3 | 1.1 |
费用 （不转换），
（转换）。
假设我们在第 3 年选择了投资产品 B，并且这是最优选择。我们需要保证从第 2 年到第 3 年的决策也是最优的。
假设在第 2 年，我们选择了投资产品 A，然后在第 3 年转移到投资产品 B。此时我们有：
其中 X 是第 1 年的投资产品，f 是费用。
我们可以继续推导第 1 年的决策，保证第 1 年的选择也是基于最优结果的。
通过上述递归推导和具体示例，我们可以直观地看到：
- 每年的最优投资决策是基于前一年的最优决策。
- 如果最后一年的投资决策是最优的，那么前一年的投资决策也是最优的，递归到第一年。
上述过程证明了，最优投资策略问题具有最优子结构性质：即一个问题的最优解包含其子问题的最优解。这一性质使得我们可以使用动态规划方法来求解该问题，保证整体最优解的正确性和有效性。
四、设计最优投资策略规划算法并分析时间复杂度
（一）问题回顾
我们有 n 种投资产品，每种产品在每年的回报率是已知的。初始投资金额为 10,000 美元。目标是在 10 年后获得最大回报。每年可以选择将资金投入到当前的产品或转移到其他产品。转移资金时有费用 （不转换）和
（转换）。
（二）算法设计步骤
定义状态和状态转移
动态规划的核心思想是将复杂问题分解为更小的子问题，并通过解决这些子问题构建最终解。
状态定义 ：用 dp[i][j] 表示在第 i 年选择第 j 种投资产品所能获得的最大回报。
状态转移方程：每年我们有两种选择：继续投资于同一个产品，或者转移到另一个产品。
如果继续投资于同一个产品：
如果转移到另一个产品：
初始化与迭代计算
初始投资金额为 initialInvestment。第一年将资金投入到所有可能的产品中，并计算初始回报。 则：
迭代计算
- 对于每一年
i（从第 1 年到第 10 年），我们计算每个产品j的最大回报。 - 对于每个产品
j，我们需要比较继续投资和转移投资的情况，并取最大值。
终止条件判定
在第 10 年结束时，取所有产品中的最大回报值作为最终结果。
（三）实际验证
我们假设有 3 种投资产品（A、B、C），回报率矩阵如下：
费用 f1 = 50，f2 = 100。初始投资金额 initialInvestment = 10000。我们按照之前的思路来实现代码如下：
java
package org.zyf.javabasic.letcode.dynamicprogramming.project;
/**
* @program: zyfboot-javabasic
* @description: 动态规划算法来解决最优投资策略问题
* @author: zhangyanfeng
* @create: 2021-09-25 23:00
**/
public class InvestmentStrategy {
// 计算最大回报的方法
public static double maxReturn(int years, int products, double initialInvestment, double[][] r, double f1, double f2) {
double[][] dp = new double[years + 1][products];
// 初始化：第一年各产品的投资回报
for (int j = 0; j < products; j++) {
dp[0][j] = initialInvestment * r[j][0];
}
// 状态转移
for (int i = 1; i <= years; i++) {
for (int j = 0; j < products; j++) {
// 假设继续投资当前产品
dp[i][j] = dp[i-1][j] * r[j][i] - f1;
// 考虑转移到其他产品
for (int k = 0; k < products; k++) {
if (k != j) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][k] * r[j][i] - f2);
}
}
}
}
// 获取最终最大值
double maxReturn = 0;
for (int j = 0; j < products; j++) {
maxReturn = Math.max(maxReturn, dp[years][j]);
}
return maxReturn;
}
public static void main(String[] args) {
int years = 10;
int products = 3;
double initialInvestment = 10000;
double[][] r = {
{1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.3, 1.2, 1.1, 1.3, 1.2, 1.1, 1.3},
{1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1},
{1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, 1.2, 1.3}
};
double f1 = 50;
double f2 = 100;
System.out.println("最大回报: " + maxReturn(years, products, initialInvestment, r, f1, f2));
}
}运行结果为：
java
最大回报: 149207.90551039999（四）时间复杂度分析
初始化 ：初始化 dp 数组的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是产品数量。
状态转移 ：每年对每个产品计算最优值需要比较所有可能的产品组合。对于第 i 年的第 j 种产品，最多需要遍历前一年所有 k 种产品。因此，状态转移的时间复杂度是 ，其中 m 是年数，n 是产品数量。
最终解：找到最后一年的最大值需要 O(n)。
所以，总的算法的时间复杂度为 。
通过上述步骤，我们设计并实现了一个动态规划算法来解决最优投资策略问题。该算法基于状态转移和最优子结构的原理，通过递归计算每年的最优投资选择，最终得到最大回报。时间复杂度为 ，适用于一般规模的投资问题。
五、新限制条款证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质
假定Amalgamated投资公司在上述规则上又加入了新的限制条款，在任何时刻你都不能在任何单一投资产品中投入15000美元以上。证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质。
为了证明最大化10年回报问题在加入每个投资产品的投资金额不能超过15000美元的限制后，不再具有最优子结构性质，我们需要明确什么是最优子结构性质。
（一）最优子结构性质
最优子结构性质（Optimal Substructure Property）是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构建而成。具体到动态规划问题上，就是说如果我们知道如何解决子问题，那么我们就可以利用这些子问题的解来构建出原问题的解。
（二）问题描述和限制条件
在原问题中，我们每年可以选择将资金继续投入到当前的产品或转移到其他产品，且每次转移都有一定的费用。在这种情况下，问题具有最优子结构性质，因为每一年的决策只依赖于前一年各个产品的最优决策。
然而，当加入了每个投资产品的投资金额不能超过15000美元的限制后，情况变得复杂：我们在每年的决策中不仅要考虑前一年的回报，还要考虑当前投资产品的投资金额是否已经达到了15000美元的上限。
（三）反例证明不再具有最优子结构性质
假设我们有3种投资产品，分别为A、B、C，初始投资金额为10000美元，每年的回报率如下：
转移费用分别为f1 = 50，f2 = 100。假设我们在任何单一投资产品中的投资金额不能超过15000美元。
第一年：
- 投资产品A：10000 * 1.5 = 15000
- 投资产品B：10000 * 1.2 = 12000
- 投资产品C：10000 * 1.1 = 11000
第二年：
- 如果第一年投资在产品A中，已经达到15000美元上限，第二年无法继续投资在A中，只能转移到B或C。
- 如果第一年投资在产品B中，第二年继续投资在B中：12000 * 1.3 = 15600（超过15000美元），所以只能转移到其他产品，但投资在A中会因15000美元限制受到影响。
通过上面的例子我们可以看到，在存在投资金额上限的情况下，每年的最优决策不仅依赖于前一年的回报率，还依赖于当前的投资金额是否达到了上限。因此，我们不能简单地通过前一年各个产品的最优决策来构建当前年的最优决策。
由于每年的决策需要考虑当前投资产品的投资金额是否已经达到15000美元的上限，这种限制引入了额外的复杂性，使得当前年的最优决策不仅依赖于前一年的回报率，还依赖于投资金额是否达到上限。因此，问题不再具有最优子结构性质。这意味着，我们无法简单地通过前一年各个产品的最优决策来构建当前年的最优决策，从而使得使用动态规划的方法变得更加复杂甚至不可行。
六、总结
我们从一个简单而经典的投资问题出发，假设每年只能在多种投资产品中做出一次投资决策，并分析在给定回报率和转移费用的情况下，如何制定最优的10年投资策略。在初步的分析中，我们假设每种投资产品的回报率是确定且已知的，通过数学证明和算法设计，得出每年将所有资金投入到单一投资产品中的最优策略。
接下来，我们进一步证明了该问题具有最优子结构性质，这是动态规划解决方案的基础。然而，当我们引入了现实中常见的投资限制条件------任何单一投资产品的投资金额不能超过15000美元时，问题的性质发生了变化。我们通过反例证明了在这种限制条件下，问题不再具有最优子结构性质，从而对传统动态规划方法提出了挑战。