agc011_e 题解

一种 luogu 题解区没有的新做法。

考虑一个非常有道理的贪心：假设当前的数是 \(n\)，每次选择 \(\le n\) 的最大的递增数 \(v\) ，将 \(n\) 变为 \(n-v\)。

考虑上面的加粗部分比较抽象，实际上，比如样例 \(n=20170312\)，那么 \(v=19999999\)。

感性理解就是一定会让最高位没掉。

但是直接做是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的，考虑优化，如果使用线段树来维护高精度可以做到 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

考虑继续优化，发现瓶颈在于每次减去形如 \(\overline{a}99\dots9\)，则相当于先加减去一个 \(\overline{a}\times(10^k+1)\)，再加 \(1\)。发现前者会刚好消去当前这个数前若干位，而后者均摊是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，因此可以优化到 \(\mathcal{O}(n)\)。

代码：

vector<int> num;
string str; cin >> str;
for (char c : str) num.pb(c - '0');
int step = 0, pos = -1, cur = 0;
while (true) {
  ++step;
  if (pos < cur) {
    for (int i = cur; i + 1 < num.size(); ++i) if (num[i] > num[i + 1]) {
      pos = i;
      break;
    }
    if (pos < cur) break;
  }
  int sep = num[pos];
  while (true) {
    int f = num[cur];
    ++cur;
    if (f == sep) break;
  }
  [&]{
    for (int i = (int)num.size() - 1; i >= cur; --i) {
      if (num[i] < 9) {
        ++num[i];
        if (i <= pos + 1) pos = cur - 1;
        return;
      }
      num[i] = 0;
    }
    --cur;
    num[cur] = 1;
    pos = cur - 1;
  }();
  while (num[cur] == 0) ++cur;
}
cout << step << "\n";