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1.树和二叉树的定义
1.1树的定义
树是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树T：
- 有且仅有
一个称之为根的结点 - 除
根结点以外的其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T₁，T₂，...，Tm，其中每一个结点本身又是一棵树，并且成为根的子树
图 1(A) 是使用树结构存储的集合{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M}的示意图。对于数据A来说，和数据B、C、D有关系；对于数据B来说，和E、F有关系。这就是"一对多"的关系。将具有"一对多"关系的集合中的数据元素按照图 1（A）的形式进行存储，整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树（图 1（B）），所以称这种存储结构为"树型"存储结构
1.2树的基本术语
结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素和若干指向其子树的分支，如图1（A）中的A、B、C、D等结点的度：结点拥有的子树数成为结点的度。例如，A的度为3，C的度为1，F的度为0树的度：树的度是树内各结点度的最大值。图1（A）所示的树的度为3叶子：度为0的结点称为叶子或终端结点。结点K、L、F、G、M、I、J都是树的叶子。叶子结点无孩子非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点。双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。例如，B的双亲为A，B的孩子有E和F兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。例如，H、I和J互为兄弟祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，M的祖先为A、D和H子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如B的子孙为E、K、L和F层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，结点G与E、F、H、I、J互为堂兄弟树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图1（A）所示的树的深度为4有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。把树的根节点删除，它的子树们就构成了森林
1.3线性结构和树结构
| 线性结构 | 树结构 |
|---|---|
第一个数据元素无前驱 |
根结点无双亲 |
最后一个数据元素无后继 |
叶子结点无孩子 |
其他数据元素一个前驱一个后继，一对一 |
其他结点(中间结点)一个双亲多个孩子，一对多 |
1.4二叉树的定义
二叉树是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树：
- 有且仅有
一个称之为根的结点 - 除
根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T₁和T₂，分别称为T的左子树和右子树，且T₁和T₂本身又都是二叉树
二叉树与树一样具有递归性质，二叉树与树的区别主要有以下两点
二叉树每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒
二叉树的递归定义表明二叉树或为空，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不想交的二叉树组成。由于这两棵子树也是二叉树，则由二叉树的定义，它们也可以是空树。由此，二叉树可以有5种基本形态，如下图所示:
树的基本术语是都适用于二叉树的
2.二叉树的性质和存储结构
2.1二叉树的性质
二叉树具有以下几个性质：
二叉树还有两种特殊的形态：满二叉树和完全二叉树
二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为2，则此二叉树称为满二叉树。
二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
2.2二叉树的存储结构
二叉树的存储结构有两种，分别为顺序存储和链式存储
2.2.1顺序存储
二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。换句话说，只有完全二叉树才可以使用顺序表存储。因此，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如下图所示，左侧是普通二叉树，右侧是转化后的完全（满）二叉树
解决了二叉树的转化问题，接下来我们来学习如何顺序存储完全（满）二叉树。完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可
例如，存储上图所示的完全二叉树，其存储状态如下图所示：
由此，我们就实现了完全二叉树的顺序存储
2.2.2链式存储
其实二叉树并不合适用数组存储，因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储会存在空间浪费的现象。接下来介绍二叉树的链式存储结构
上图为一颗普通的二叉树，若将其采用链式存储，则只需从树的根节点开始，将各个节点及其左右孩子使用链表存储即可。因此，其对应的链式存储结构如下图所示：
由上图可知，采用链式存储二叉树时，其节点结构由3部分构成：
- 指向
左孩子节点的指针（Lchild） - 节点存储的
数据（data） - 指向
右孩子节点的指针（Rchild）
其实，二叉树的链式存储结构远不止上图所示的这一种。例如，在某些实际场景中，可能会做 "查找某节点的父节点" 的操作，这时可以在节点结构中再添加一个指针域，用于各个节点指向其父亲节点，如下图 所示：
2.3遍历二叉树
- 在
二叉树的一些应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的结点，或者是对树中的全部结点逐一处理，这就提出了一个遍历二叉树的问题。遍历二叉树是指按某一条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。遍历二叉树是二叉树最基本的操作，也是二叉树其他各种操作的基础，遍历的实质是对二叉树进行线性化的过程，即遍历的结果是将非线性结构的树中结点排成一个线性序列。由于二叉树的每个结点都有可能有两棵子树，因而需要寻找一种规律，以便使二叉树上的结点能排列在一个线性队列上，从而便于遍历 二叉树是有３个基本单元组成：根节点、左子树、右子树。因此，若能依次遍历这三部分，便是遍历了整个二叉树。假如Ｌ、Ｄ、Ｒ分别表示遍历左子树、访问根节点、遍历右子树，则可有DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD这6种遍历二叉树的方案。若限定先左后右，则只有前3种情况，分别称之为先（根）序遍历、中（根）序遍历和后（根）序遍历
基于二叉树的递归定义，可得下述遍历二叉树的递归算法定义。
先序遍历二叉树的操作定义如下：若
二叉树为空，则空操作；否则（１）访问
根节点；（２）
先序遍历左子树；（３）
先序遍历右子树。
中序遍历二叉树操作定义如下：若
二叉树为空，则空操作；否则（１）
中序遍历左子树；（２）访问
根节点；（３）
中序遍历右子树。
后序遍历二叉树的操作定义如下：若
二叉树为空，则空操作；否则（１）
后序遍历左子树；（２）
后序遍历右子树；（３）访问
根节点。
例如，上图的二叉树表示的为表达式：a+b*（c-d）-e/f
先序遍历二叉树，可得到二叉树的先序序列为：-+a*b-cd/ef中序遍历二叉树，可得此二叉树的中序序列为：a+b*c-d-e/f后序遍历二叉树，可得此二叉树的后序序列为：abcd-*+ef/-
2.4大作业：二叉树的基本操作
构建
二叉树（遍历列表按照先序顺序插入值）
测试案例的输入列表为［'A','B','C','#','#','D','E','#','G','#','#','F','#','#','#'］,输出的遍历结果见下图
二叉树的生成，需要用以上输入列表的数值哦；对于非递归遍历，需要用到栈。
2.4.1代码思路（仅供参考，思路不限）：
二叉树的生成：
- 构建
结点类，构建二叉树类 - 输入一个
列表，然后从列表中取数，按照先序顺序进行递归插入数值，即先创建根结点，再左子树，再右子树 - 首先输入一个
字符，判断其是否为＃，不是＃的即创建根结点，该结点的数值域为该字符，继续递归生成左子树，输入第二个字符，判断其是否为＃，不是＃的即生成结点，是＃的将返回上一层递归，如此判断递归生成二叉树
二叉树的遍历：
- 按照
先序、中序、后序遍历的顺序输出字符即可 非递归的遍历是需要借助栈的- 拿
中序遍历的非递归算法思想来举例：定义一个空栈，从根结点开始访问，若当前节点非空，则将该节点压栈并访问其左子树，循环执行，直至当前节点为空时，取栈顶元素访问并弹栈，然后访问其右子树，再重复如上操作，直至遍历节点的指针为空并且栈也为空
2.4.2代码实践（递归写法）
python
class Tree:
def __init__(self, item):
self.item = item
self.l = None
self.r = None
def llink(self, other): #左连接子节点
self.l = other
def rlink(self, other): # 右连接子节点
self.r = other
def get_depth(self): # 获取深度（递归）
if self.l == None:
l_depth = 0
else:
l_depth = self.l.get_depth()
if self.r == None:
r_depth = 0
else:
r_depth = self.r.get_depth()
return max(l_depth, r_depth) + 1
def get_len(self): # 获取节点数（递归）
if self.l == None:
l_len = 0
else:
l_len = self.l.get_len()
if self.r ==None:
r_len = 0
else:
r_len = self.r.get_len()
return l_len + r_len + 1
def show_first(self): # 先序遍历（递归）
print(self.item, end=" ")
if self.l != None:
self.l.show_first()
if self.r != None:
self.r.show_first()
def show_mid(self): # 中序遍历（递归）
if self.l != None:
self.l.show_mid()
print(self.item, end=" ")
if self.r != None:
self.r.show_mid()
def show_last(self): # 后序遍历（递归）
if self.l != None:
self.l.show_last()
if self.r != None:
self.r.show_last()
print(self.item, end=" ")
def create(x):
try:
tmp = next(x)
if tmp == "#":
return
root = Tree(tmp)
root.llink(create(x))
root.rlink(create(x))
return root
except:
pass
tree_list = ['A', 'B', 'C', '#', '#', 'D', 'E', '#', 'G', '#', '#', 'F', '#', '#', '#']
it = iter(tree_list)
root = create(it)
# 先序遍历
print(root.show_first())
# 中序遍历
print(root.show_mid())
# 后序遍历
print(root.show_last())