0-1背包问题(1):贪心算法

问题:

有 n 个物品和背包的容量,每个物品的重量为 w[i],价值为 v[i],背包的容量为 W。选若干个物品放入购物车,物品不可分割,使价值最大。

问题分析:

首先考虑贪心策略:

  1. 每次挑选价值最大的物品放入背包
  2. 每次挑选重量最小的物品放入背包
  3. 每次挑选单位价值最大的物品放入背包

思考一下,如果选择价值很大的物品,但重量非常大,也是不可行的,策略 1 舍弃;如果选择重量很小的物品,但是价值很小,也是不行的,策略 2 舍弃;策略 3 是每次选择单位价值最大的物品,也就是性价比最高的物品,也不一定能达到最大价值,因为物品不可分割,有可能存在背包没有装满,却不能装下剩下的物品,这样的价值不一定最高。

因此,使用贪心策略解决上述问题不一定能得到最优解。

物体可以分割

但是,如果在物体可以分割的前提下,使用贪心策略每次选择剩余物品中单位价值最高的物品放入背包,得到的价值最大。

问题:

假设现在有 5 个物品,每个物品的重量为(2,5,4,2,3),价值为(6,3,5,4,6),背包的容量为 10,求在不超过背包容量的前提下,把哪些物品放入背包,才能获得最大价值?

代码如下:

py 复制代码
W = 10
goods = [{'w': 2, 'v': 6}, {'w': 5, 'v': 3}, {'w': 4, 'v': 5}, {'w': 2, 'v': 4}, {'w': 3, 'v': 6}]

# 根据单位价值倒序排序
goods.sort(key=lambda x: x['v'] / x['w'], reverse=True)

print(goods)

value = 0

for item in goods:
  if item['w'] <= W:
    value += item['v']
    W -= item['w']
  else:
    value += (item['v']/item['w']) * W
    break

print(value) 	# 19.75
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