手搓人工智能-最优化算法（1）最速梯度下降法，及推导过程

"Men pass away, but their deeds abide."

人终有一死，但是他们的业绩将永存。

------奥古斯坦-路易·柯西

前言

在学习和训练过程中，需要根据训练样本来确定一组与分类器模型相关的参数。学习过程往往要首先定义某个准则函数，用以描述参数的"合适性"，然后寻找一组"合适性"最大的参数作为学习的结果，也就是将学习问题转化成针对某个准则函数的优化问题

简单函数求极值

对于简单函数，根据数学分析的知识可知：

维矢量是的极值点的必要条件是：

将所有的偏导数写成矢量形式：

函数的极值点可以通过求解该矢量方程得到

但是，上述方程的解可能是极大值点，也可能是极小值点，也可能不是极值点，具体情况还需二阶导数来判断。

如果希望求的极大值或极小值点，可以通过比较所有的极大值或极小值得到。

复杂函数梯度法求极值

对于简单的纯凸函数或纯凹函数，由于只存在唯一的极值点，极值点即为最大值或最小值点，因此可以直接求解矢量方程得到的优化解。

对于复杂函数来说，直接求解矢量方程得到优化函数的极值点往往非常困难。在这种情况下，可以考虑采用迭代的方法从某个初始值开始，逐渐逼近极值点，即------梯度法

泰勒展开

如果给定了点具有所有的前阶导数的函数，我们称多项式：

为函数在点处的阶泰勒展开式

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具

考虑到多元函数在点附近的一阶泰勒展开式：

其中：

为矢量增量

为其第维元素

为展开式的余项

梯度，Nabla算子

接下来引入梯度的概念

设二元函数在平面区域上具有一阶连续偏导数，则对于每一个点都可以定出一个向量：

称作函数在点的梯度，记作

其中：

称为（二维的）向量微分算子或Nabla算子

设是方向上的单位向量，则：

当与梯度方向一致时，有：

此时方向导数有最大值，值为梯度的模：

我们将其推广到无穷维的情况：

设维函数在空间区域内具有一阶连续偏导数，点，称向量：

为函数在点处的导数，记为

稍微集中一下注意力：

注意到一阶展开式中求和项，改写为：

不难发现，该求和式实际上为关于的梯度矢量与矢量增量之间的内积。

同时，令，有，于是有：

如果要求取的极小值，可以从某个初始点开始搜索，每次增加一个增量，虽然不能保证直接达到极小值点，但如果能够保证每次迭代过程中函数值逐渐减小：

那么经过一定的迭代次数之后，函数值能够逐渐逼近极小值，这是一个逐渐下降的过程，因此称为梯度下降法。

更进一步，如果希望下降过程越快越好，用尽可能少的迭代次数逼近极小值，达到对极小值更高精度的逼近，这种方法称为最速下降法

Cauchy-Schwarz不等式

要使函数值下降的最快，就是要寻找一个矢量增量使得最小。

我们引入Cauchy-Schwarz不等式：

其向量形式（欧式空间）：

这里不做严谨的证明，且该结论对于大部分人来说非常显然

由于上面我们只展开到一阶近似，当过大时，余项便不能忽略，近似的精度会很差。因此不能直接寻找矢量增量，而是应该寻找使得函数值下降的最快的方向，也就是在约束的条件下，寻找使得最小的矢量增量。找到最速下降的方向后，在确定该方向上合适的矢量长度

根据柯西不等式：

令

有：

可以得到，当为负的梯度方向时，不等式等号成立，取得最小值，函数值下降速度最快。

所以，最速下降法按照以下方式进行迭代：

其中一般被称为"学习率" ，用于控制矢量的长度。如果是要寻找极大值，则应当沿梯度正方向。

梯度下降算法

因为代码求梯度非常困难，博主手搓不出来，这里只给算法流程

算法流程

初始化：

循环，直到

计算当前点的梯度矢量：

更新优化解：

输出优化解

参数为收敛精度，值越小，输出解越接近极小值点，同时迭代次数越多。

梯度下降法优缺点

优点：

算法简单，只要知道任意一点的梯度矢量就能进行迭代优化

在学习率合适的情况下，算法能很好的收敛到极小值点
缺点：

对于梯度值较小的区域，收敛速度很慢

收敛性依赖于学习率的设置，与初始值选择无关，但目前对于某个具体问题来说，还没有能够直接确定学习率的方法

梯度下降只能保证收敛于一个极值点，无法一次计算出所有的极值点，具体收敛到哪个极值点依赖于初始值的设置

梯度下降不能保证求得的极小值是全局最小值

参考文献

【1】模式识别 - 刘家锋

【2】数学分析（一）- 崔国辉