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摘要： 本文深入探讨了最优订单执行策略相关问题，详细介绍了多种模型下的策略推导、最优性条件及特性。通过对 Almgren - Chriss 模型、Obizhaeva 和 Wang 模型、Alfonsi 和 Schied 模型等的分析，阐述了各模型中最优策略的形式及其与市场因素的关系。同时，讨论了价格操纵对最优策略存在性的影响，以及在不同假设下（如 ABM 和 GBM）最优策略的差异。此外，还介绍了线性瞬态市场影响下的相关理论，包括无价格操纵条件、最优策略的求解等，并以平方根模型为例，分析了其在实际交易中的应用及潜在成本节省。
一、引言
在金融市场中，最优订单执行是一个关键问题，涉及如何在给定股票价格演化模型的基础上，找到使成本函数最小化的交易策略。执行算法通常包含宏观交易者、微观交易者和智能订单路由器三个层面，本文主要关注宏观交易者层面，即如何分割订单。
二、问题陈述与基本概念
问题定义
给定股票价格模型，寻求最优交易策略以最小化成本函数，重点研究股票清算情况，初始头寸为，最终头寸为。交易策略分为静态（交易前确定）和动态（取决于执行时市场状态），如 Delta - hedging 是动态策略，VWAP 是静态策略。
重要观察与推论
若策略成本仅通过
依赖于股票价格，经分部积分可知其期望值与交易策略无关，可假设St=0。这有助于判断静态最优策略是否为动态最优策略，在一些模型（如 Almgren 和 Chriss、Almgren (2005)、Obizhaeva 和 Wang 等）中，静态最优策略是动态最优策略。
三、主要模型及其最优策略
1、Almgren - Chriss 模型
模型设定
市场影响和滑点建模为股票价格St满足，交易价格
临时市场影响瞬间衰减，不影响市场价格St。
静态最优策略
使成本函数
最小化的静态最优策略
，其 Euler - Lagrange 方程为：
添加风险项后的策略变化
添加惩罚交易成本方差的风险项
后，预期风险调整后的交易成本为
，Euler - Lagrange 方程变为
，解为
，静态最优解仍是动态最优解。
2、Obizhaeva 和 Wang 2005 模型
模型特点
市场影响与交易速率线性相关且指数衰减，价格过程为
，预期交易成本为
最优策略推导
当交易政策静态最优时，Euler - Lagrange 方程
成立，通过对成本函数求泛函导数得到
这是 Fredholm 积分方程。代入
可得最优策略为在t=0进行大宗交易，在以(0,T)速率连续交易，在t=T进行另一大宗交易，此时体积影响过程Et是常数。
3、Alfonsi、Fruth 和 Schied 模型
模型描述
考虑订单簿模型，有连续（一般非线性）订单密度f(x)在鞅要价At之上，累积订单密度
，执行会消耗订单簿，购买股会使要价变化。
最优清算策略
成本函数为
（Et为体积影响过程，H(x)为执行瞬时大宗交易的成本）。假设
，可得最优选择满足的条件
，通过泛函求导可证明该策略的（静态）最优性。例如
4、不同模型假设下的策略对比
ABM 与 GBM 假设对比
在 Almgren - Chriss 模型中，若股票价格过程假设为算术布朗运动（ABM），静态最优策略是动态最优策略；若假设为几何布朗运动（GBM），最优策略依赖于股票价格。如 Forsyth 等人在 GBM 下数值求解 HJB 方程，发现有效前沿与 ABM 情况几乎相同，但问题病态，许多策略成本函数值相近，且股票价格高时应更快交易以降低方差，卖出股票时最优策略是价内激进，买入股票时是价内被动。
不同模型最优策略特性总结
Almgren - Chriss 风格模型中，风险价格为零时，最小成本策略是 VWAP；Alfonsi - Schied 风格模型中，若弹性仅取决于当前价差，最小成本策略是在开始和结束时有大宗交易，中间以恒定速率连续交易；更一般地，若市场影响是瞬态的，最优策略涉及交易爆发，VWAP 不是最优策略。在大多数常规模型中，最优清算策略与股票价格无关，但也可构造类似模型使最优策略依赖于股票价格，且合理参数和时间尺度下，最优策略接近静态策略。
四、价格操纵与最优策略存在性
价格操纵的影响
部分模型存在价格操纵可能，即往返交易可平均产生现金，此时无最优策略。例如，之前考虑的模型中最优策略交易方向相同，但存在其他模型使价格操纵成为可能。
线性瞬态市场影响下的相关理论
无价格操纵条件 ： 定义往返和价格操纵策略后，命题表明C(X)>=0对所有允许策略X成立当且仅当G(|.|)可表示为上正有限 Borel 测度的 Fourier 变换，即
一阶条件 ：定理指出若G是正定的，X最小化C(.)当且仅当存在常数lamda使得X 解广义 Fredholm 积分方程
无交易触发价格操纵条件 ：定理表明若衰减核G(.)是凸的，
且允许策略集非空，则存在唯一允许最优策略X*，且Xt* 是的单调函数，不存在交易触发价格操纵；若G在零附近不是凸的，则存在交易触发价格操纵。
五、平方根模型及其应用
模型介绍与实证验证
平方根公式
（theta是每日波动率，V是每日交易量，Q是待交易股票数量，alpha是常数）在交易软件中广泛应用，如 Salomon Brothers、Barra 和 Bloomberg 的相关产品。从 Tóth 等人的研究中，通过对 CFM1 专有交易的元订单影响分析，发现该公式在一定范围内得到了实证验证。
平方根模型下的最优策略与成本节省
在平方根模型
中，若
是凹函数，最优策略不存在；若f(v)对大v是凸函数，则存在最优策略，涉及交易爆发（通常多于两次）。以出售 540,000 股 IBM 股票为例，在假设条件下比较 VWAP、两切片桶状策略和准最优策略（由七个大致相等切片组成）的成本，发现准最优策略可节省 32% 的成本，桶状策略可节省 17% 的成本，展示了优化调度策略在潜在成本节省方面的重要性。
六、结论
最优交易策略取决于模型。不同模型下最优策略形式各异，同时需考虑价格操纵对策略存在性的影响。平方根模型在合理规模元订单的市场影响描述上较为准确，基于此模型优化调度策略可显著节省成本，这对金融交易实践中的订单执行策略选择具有重要意义。在实际应用中，需根据具体市场情况和模型假设选择合适的策略以实现最优执行。
