本文是对数学二线性代数基础进行总结，一些及极其简单的被省略了，代数的概念稀碎，不如高数关联性高，所以本文仅供参考，做题请从中筛选！
本文为初稿，后面会根据刷题和自己的理解继续更新
第一章：行列式：
基本概念：
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- 求n阶行列式:
- 余子式：
的余子式
- 代数余子式：
- 按某行展开：
记：
- 行列互换值不变
- 若某行元素全为0，行列式为0
- k*行列式=对行列式的一行都乘k倍
- 某行元素是两个数之和，可以拆成两个行列式之和
- 行列式两行互换，行列式变号
- 行列式中某行的k倍加到另一行，行列式不变
重要行列式：
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- 主对角线行列式：无论上下都是主对角线的乘积（这个概念对于分块矩阵也成立，称为拉普拉斯展开式）
- 副对角线行列式
- 范德蒙德行列式：形如
的行列式，其值为：
行列式计算：
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- 爪型行列式：利用斜爪消去竖爪或者横爪。然后展开
- 递推法：找规律，适用与宽对角类型的行列式行列式递推法1_哔哩哔哩_bilibili
- 抽象型行列式：性质、|AB|=|A||B|、将行列式拆分成两个行列式的乘积
- 余子式和代数余子式的线性组合：行列式按行（或按列）展开的"逆过程"。如：给|A|，和代数余子式的线性组合，把线性组合的系数换掉其按行展开的行，求出行列式就是代数余子式的和
- 求解n元非齐次方程组：克拉默法则：非齐次线性方程组的行列式（行列式不带等号右边的常数项），若不等于0，则方程组存在唯一解且解为
第二章：矩阵：
矩阵基本运算：
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- 不满足交换律
- 加法：每项相加；数乘：每项都乘
- 转置矩阵的性质：
特殊矩阵：
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- 数量矩阵：k倍的单位矩阵
- 对称矩阵：满足条件
- 反对称矩阵：满足条件
- 分块矩阵：比较特殊的就是分块矩阵的n次幂
- 正交矩阵：
矩阵的逆
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- 本质：定义：AB=BA=E，则B为A的逆
- 可逆的充要条件是：
- 重要性质：
- 求逆矩阵：定义法（AB=BA=E，
伴随矩阵
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- 本质:定义:由A的代数余子式构成的矩阵
- 求逆矩阵的公式：
- 求伴随矩阵：定义法、用逆矩阵求伴随
初等矩阵：
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- 本质：对另一个矩阵进行初等变换，初等变换包括：数乘、互换、倍加
- 初等矩阵都可逆，逆矩阵也为初等矩阵（后面可以看一下初等变换逆前后对另一个矩阵的影响的变化）
- 可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。
- 对A作初等行变换，相当于左乘初等矩阵，列则是右。
- 初等变换求逆矩阵
矩阵方程：
等价矩阵和等价标准型：
- 求可逆矩阵P：1、单个，把A化到B的过程每次行变换的矩阵相乘即可。2、求所有的可逆矩阵P：第四讲方程组求解再来看？？？？
矩阵的秩：
- 本质：定义：存在k阶子式子不为0，任意k+1阶子式全为0，矩阵的秩r(A)=k。
- k是A的线性无关向量的个数；k个线性无关的向量，任意k+1个向量线性相关。
- 如何理解线性相关和线性无关：线性无关的向量撑起"整个空间"，线性相关的则是由这些线性无关向量表示，"躺平"在这个空间里。
- 重要式子：
第三章：向量组：
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- 正交向量：
- 向量的模：
- 标准正交基：本质就是相互垂直的单位向量组
- 线性无关：向量组中的每个向量都是"基础"的，它们独立存在，没有多余的部分
- 线性相关：向量组中有一些向量是"多余的"，可以由其他向量通过线性组合得到（存在不全为0的数，使
线性相关、线性无关
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判定线性相关的定理：
- 线性相关<=>向量组中，至少有一个向量可由其余的向量线性表示。（本质是存在非0的k），逆否命题：线性无关<=>向量中任何向量都不能由其余向量表示（本质不存在非0的k）
- 向量组a线性无关，a加一个向量
- 大向量组b可由小a线性表示（大小体现在列），则向量组b线性相关。（本质：b 中所有向量实际上都"依赖"于 a）
- m（m列）个n（行）维向量组线性相关<=>其所构成的齐次线性方程组=0，有非零解<=>构成的矩阵的秩<m（列数）（本质：把方程列出来化简之后就是线性相关的定义，若有非零解就是k不全为0；m-秩=自由度，存在自由度，使方程=0）等价就是：线性无关充要条件是齐次方程组只有零解
- 如果向量组a一部分线性相关，则整个向量组线性相关，（小部分就能概括整个空间，则其余的都是多余向量）逆否命题：如果a向量无关，则任何一部分向量组都线性无关。
- 如果n维向量组a线性无关，则向量组添加m个分量得到的向量组(m+n)维也是线性无关。（添加的分量，是独立的信息，没有引入与原来a线性相关的冗余）逆否命题：a线性相关，去掉若干分类后也是线性相关。
- 总结：判断能不能线性表示，就看添加后是否多一维（秩），如果向量为撑起空间的向量，则不能被线性表示，如果向量不是撑起空间的向量，则可以被线性表示
记：
- 自由度：就是对秩展成的空间的约束
极大线性无关组
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- 本质：向量组中撑起空间的那几个向量的集合
- 求极大线性无关组用进行初等行变换，找出和矩阵秩相同的子矩阵就是（不唯一）
- 也就是说，求极大线性无关组可以作为空间的基向量，表示其他向量。那怎么表示其他向量呢：用矩阵乘法，基向量*倍数矩阵。
等价向量组：
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- 本质：两个向量组可以相互线性表示（同一个空间中的同一个子空间，只是使用的基向量不同），记为
- 等价向量组有传递性、对称性
- 若
向量组的秩：
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- 三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩
- 等价向量组=>秩相等
- 对A进行初等行变换后变为B，A、B的行向量是等价向量组
- 向量组A、B，若A中向的向量均可由B线性表示，则r(A)<=r(B)（A 的向量组实际上"依赖于" B 的向量组，说明 A 张成的子空间是 B 张成空间的子空间）
- r(A+B)<=r(A,B)<=r(A)+r(B)
第四章：线性方程组：
齐次线性方程组：
- r(A)=n，n为未知数的数量，此时有唯一0解，（此时，向量组为线性无关，只有x全为0的时候成立）
- r(A)=r<n，有非零解（无穷多个），且有n-r个线性无关解（自由度）（基础空间r+约束(自由度)=总维度n，）。
- 求解方法：1、行变换化为行阶梯型矩阵（方便看秩）。2、找出一个秩为r的子矩阵，其余位置为自由变量（明确自由变量）。3、设基础解系个数为n-r。4、设解中自由变量的位置为任意值（方便解题就行，一般是0或1），然后用A的每非0行和基础解系相乘，求出基础解系所有项。5、k*基础解系然后相加即可。
- 基础解系的理解：秩组成了基本的空间，如三维，自由项就是在三维上开辟一个二维的子空间（通过原点的线性子空间），这个子空间由基础解系描述
非齐次线性方程组：
- 基础解系的理解：与非齐次的相同，但其描述的是偏移的线性子空间，与一阶的通过原点的不同。
- 求解方法：1、求出齐次方程通解，2、求出特解（设一个特解，在增广矩阵中选出秩相同的子矩阵，令自由变量全为0，带入行求出其他值）3、解=通解+特解。或者使用下面的解法：非齐次线性方程组求通解_哔哩哔哩_bilibili
公共解：
- A与B的公共解：
同解方程组：
- A与B有完全相同的解
第五章：特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量：
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- 本质：矩阵A对这个特殊的向量的变换就是λ，而这个特殊的向量就是特征向量
- 若
- k重特征值
- 若n个特征向量是A的属于不同特征值的特征向量，则这n个特征向量线性无关（线性相关的特征向量，A的特征值一定相同，而线性无关的可以相同也可以不同）
- 若
- 常规矩阵的特征值和特征向量
相似矩阵：
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- 相似矩阵的必要性：|A|=|B|、r(A)=r(B)、tr(A)=tr(B)、
- A~B则
- 若A~C，B~D则
- 如何求相似：定义、传递性、必要性反正不相似
相似对角化：
- 本质：
- 可相似对角化的充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。（A对应每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量）
- 可相似对角化的充分条件：n阶矩阵有n个不同的特征值；n阶矩阵为实对称矩阵（满秩）
- 计算：
- 通过求特征值的方式求得对角矩阵，然后根据A和
- 求可逆阵P：1、求特征值，2、求特征向量，3、把向量按列排就是P
- 由特征值、特征向量反推A：
- 可能会遇到求A的高次方，或其他形式，可以化为对角矩阵，然后再化回去。
实对称矩阵的相似对角化：
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- 对称阵A的不同特征值的特征向量相互正交
- 利用
- 求实对称矩阵的相似对角化的基本步骤是：1、求特征值，2、求特征向量，3、将特征向量正交化（why:因为要求正交矩阵Q），4、按列排就是Q
- 施密特正交化公式（将非正交积化为正交积）：
第六章：二次型：
二次型的定义：
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- 本质：就是个二元齐次多项式f(x)，写成
的形式，用矩阵A表示。A为f(x)的二次型矩阵。
合同变换：
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- 本质：把x换成y，把一个二次型（
- 合同必等价、对称矩阵合同也是对称矩阵
- 合同标准型：没有交叉项，只有平方项
- 规范型：把标准型的系数都化为1,0,-1
- 定理：1、任何实对称矩阵A(任何二次型)，必存在可逆矩阵C，使得：
- 惯性定理：正系数（正惯性指数）和负系数（负惯性指数）的个数是不变的。合同变换下的不变量就是惯性指数（特别注意，惯性指数往往和特征向量相关2016）
- 秩r=正惯性指数+负惯性指数
- 合同的充要条件：有相同的正负惯性指数；
- 在对称条件下，相似一定合同
- 合同和相似的区别：？？
- 配方法化二次型：1、把二次型化成
正定二次型：
- 正定二次型<=>
- 顺序主子式：看图
- 二次型正定的必要条件：系数都大于0；|A|>0