【多维 DP】力扣2400. 恰好移动 k 步到达某一位置的方法数目

sjsjs112024-12-19 10:00

给你两个正整数 startPos 和 endPos 。最初，你站在无限数轴上位置 startPos 处。在一步移动中，你可以向左或者向右移动一个位置。

给你一个正整数 k ，返回从 startPos 出发、恰好移动 k 步并到达 endPos 的不同方法数目。由于答案可能会很大，返回对 109 + 7 取余的结果。

如果所执行移动的顺序不完全相同，则认为两种方法不同。

注意：数轴包含负整数。

示例 1：

输入：startPos = 1, endPos = 2, k = 3

输出：3

解释：存在 3 种从 1 到 2 且恰好移动 3 步的方法：

1 -> 2 -> 3 -> 2.
1 -> 2 -> 1 -> 2.
1 -> 0 -> 1 -> 2.
可以证明不存在其他方法，所以返回 3 。

示例 2：

输入：startPos = 2, endPos = 5, k = 10

输出：0

解释：不存在从 2 到 5 且恰好移动 10 步的方法。

提示：

1 <= startPos, endPos, k <= 1000

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numberOfWays(int startPos, int endPos, int k) {
        int MOD = 1e9+7;
        int offset = 1000;
        int maxRange = startPos + k;
        int minRange = startPos - k;
        vector<vector<int>> dp(3 * offset + 2, vector<int>(k+1));
        dp[startPos + offset][0] = 1;

        for(int j = 1; j <= k; j++){
            for(int i = minRange + offset; i <= maxRange + offset; i++){
                dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i+1][j-1]) % MOD;
            }
        }
        return dp[endPos + offset][k];
    }
};

这道题我们定义了一个偏移量offset，offset用于处理负轴上的数据，使他们在dp上的索引是正数。这道题我们需要注意的是如何定义dp的范围，由于startPos和k都在1000以内，那么负轴上最低的是startPos-k，因为startPos是正整数，所以负轴上最低是-999，正轴上最高是startPos+k，也就是2000，那么他们的范围就是3000，由于方便处理动态规划过程中的边界问题，令dp的行大小为3000+2。

我们定义一个二维数组dp $i$ $j$ ，代表当前位置i和已经走了j步的情况下，有几种情况。那么我们可以知道dp $i$ $j$ 可以由dp $i-1$ $j-1$ 和dp $i+1$ $j-1$ 状态转移而来。

最后我们返回dp $endPos+offset$ $k$ ，也就是在终点并且已经走了k步的情况下的情况有多少种。