单片机实现FFT（快速傅里叶变换）算法
快速傅里叶变换（FFT，Fast Fourier Transform）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT，Discrete Fourier Transform）的算法，广泛应用于信号处理、图像处理、音频分析等领域。在嵌入式系统中，尤其是对于资源有限的单片机，优化和实现FFT算法是一个具有挑战性但非常有用的任务。本文将介绍如何在单片机上实现FFT算法，分析并显示信号的频谱。
1. 项目需求分析
目标：
- 采集信号：通过ADC（模拟到数字转换器）采集模拟信号。
- FFT计算：通过FFT算法计算输入信号的频域特性。
- 频谱显示：将FFT结果显示在LCD屏或通过串口输出。
- 频率分析：显示信号的频率成分，帮助分析信号的频率分布。
功能需求：
- 信号采集：从外部传感器（如麦克风、传感器等）获取模拟信号。
- FFT算法：实现FFT算法，将时间域信号转换为频域信号。
- 频谱显示：通过LCD或串口输出FFT的结果，显示信号的频率成分。
- 处理优化：由于单片机资源有限，FFT实现需要进行优化，减少运算量。
2. 硬件设计
2.1 单片机选择
FFT算法通常需要较高的计算能力，因此选择具有较大RAM和足够运算能力的单片机，例如STM32 或51系列单片机 。在此示例中，假设使用STM32单片机（ARM Cortex-M系列）作为开发平台，其具有较强的处理能力和丰富的外设接口。
2.2 信号采集
使用ADC模块将模拟信号转换为数字信号。单片机的ADC模块可以采样并存储信号的值。输入信号频率需要采样频率的两倍以上（遵循奈奎斯特采样定理）。
2.3 显示模块
为了显示FFT结果，常见的方式有：
- LCD显示屏：如1602 LCD或OLED显示屏，显示频谱信息。
- 串口输出：通过串口将频谱数据传输到PC或其他设备，便于分析。
2.4 系统连接
- ADC输入：连接到信号源（如传感器、麦克风等）。
- LCD显示：连接到单片机的I/O口，用于输出频谱数据。
- 按键控制：通过按键控制采样和FFT的触发。
3. FFT算法简介
FFT是计算离散傅里叶变换（DFT）的一种高效算法。DFT的定义为：
其中，xn 是时间域信号，Xk 是频域信号。直接计算DFT需要O(N²)的计算量，而FFT算法通过分治法将复杂度降低到O(N log N)。
在实现FFT时，常用的算法是Cooley-Tukey算法，该算法基于二分法，将一个大的DFT分解为多个小的DFT，逐步求解。此算法可以在大多数单片机中实现，并优化为适合嵌入式环境的版本。
3.1 基2的Cooley-Tukey FFT算法
基2的FFT是最常用的形式，适用于数据长度是2的整数次幂的情况。假设我们要处理长度为N的数据序列，FFT分解的步骤如下：
- 将输入数据分成偶数和奇数部分；
- 对偶数部分和奇数部分分别递归地应用FFT；
- 合并偶数和奇数部分的FFT结果，得到最终结果。
4. 软件设计
4.1 信号采样
首先，使用单片机的ADC模块采样外部模拟信号。这里假设每次采样一个固定数量的点，例如256个点，作为FFT的输入数据。
cpp
#define SAMPLE_SIZE 256 // 采样点数
// 模拟ADC采样函数
void adc_sample(int* buffer) {
for (int i = 0; i < SAMPLE_SIZE; i++) {
buffer[i] = ADC_Read(); // 假设ADC_Read()是一个获取ADC数据的函数
}
}4.2 FFT实现
基于Cooley-Tukey算法，下面是一个简化的FFT实现。此版本使用复数运算，单片机通常需要自己实现复数的乘法和加法。
cpp
#include <math.h>
#include <complex.h>
#define SAMPLE_SIZE 256
// FFT实现函数
void fft(complex double* x, int N) {
if (N <= 1) return;
// 将序列分为偶数项和奇数项
complex double *even = malloc(N / 2 * sizeof(complex double));
complex double *odd = malloc(N / 2 * sizeof(complex double));
for (int i = 0; i < N / 2; i++) {
even[i] = x[2 * i];
odd[i] = x[2 * i + 1];
}
// 递归进行FFT
fft(even, N / 2);
fft(odd, N / 2);
// 合并
for (int k = 0; k < N / 2; k++) {
complex double t = cexp(-I * 2 * M_PI * k / N) * odd[k];
x[k] = even[k] + t;
x[k + N / 2] = even[k] - t;
}
free(even);
free(odd);
}
// 计算幅度谱
void calculate_magnitude(complex double* x, double* magnitude, int N) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
magnitude[i] = cabs(x[i]); // 计算复数的幅值
}
}4.3 显示频谱
FFT计算完成后，频谱数据需要进行显示。以下是通过LCD显示频谱的示例。
cpp
// 显示频谱数据（简单显示）
void display_spectrum(double* magnitude) {
char buffer[16];
for (int i = 0; i < SAMPLE_SIZE / 2; i++) { // 显示前一半频谱数据
sprintf(buffer, "%d Hz: %.2f", i * 1000 / SAMPLE_SIZE, magnitude[i]); // 假设采样频率为1000Hz
lcd_display_string(buffer); // LCD显示函数
delay(100); // 延时用于显示每一频点
}
}4.4 完整流程
主程序中，结合采样、FFT计算和显示功能，形成一个完整的信号处理流程。
cpp
void main() {
complex double signal[SAMPLE_SIZE];
double magnitude[SAMPLE_SIZE];
// 初始化LCD
lcd_init();
while (1) {
// 采样信号
adc_sample(signal);
// 对信号进行FFT变换
fft(signal, SAMPLE_SIZE);
// 计算频谱幅度
calculate_magnitude(signal, magnitude, SAMPLE_SIZE);
// 显示频谱结果
display_spectrum(magnitude);
}
}5. 优化与扩展
-
硬件加速：许多单片机，尤其是高性能的ARM Cortex-M系列芯片，提供硬件浮点运算单元和DSP（数字信号处理器），可以大大加速FFT的计算过程。可以使用这些硬件加速模块来提高运算速度。
-
固定点运算：由于单片机的计算能力有限，通常使用固定点数（整数）代替浮点数进行FFT计算，以提高性能和减少计算资源的消耗。
-
采样率与FFT大小：可以通过改变采样率和FFT大小（例如512点或1024点FFT）来平衡处理速度和频率分辨率。
-
实时显示：使用OLED屏或者更大显示屏进行更精确和实时的频谱显示。
6. 总结
本项目展示了如何使用单片机实现快速傅里叶变换（FFT）算法，并通过LCD显示频谱结果。虽然单片机的计算能力有限，但通过合理的优化和硬件支持，FFT算法仍然可以有效地在嵌入式系统中实现。该技术广泛应用于信号分析、音频处理、通信系统等领域，可以为开发者提供深入理解频域分析的工具。