本文涉及知识点
LeetCode1458. 两个子序列的最大点积
LeetCode3290 和此题几乎相同。
给你两个数组 nums1 和 nums2 。
请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。
数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。
示例 1：
输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (23 + (-2) (-6)) = 18 。
示例 2：
输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。
示例 3：
输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
-1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100
点积：
定义 a = [a1, a2,..., an] 和 b = [b1, b2,..., bn] 的点积为：
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n a⋅b=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn
这里的 Σ 指示总和符号。
动态规划## 动态规划的状态表示
dp[i][j] 表示从nums1的前i个元素,nums2的前j个元素中选择子序列组成的最大点积和。空间复杂度：O(nm)。
动态规划的转移方程
d p [ i ] [ j ] = { d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + n u m s 1 [ i − 1 ] × n u m s 2 [ j − 1 ] 都选择 d p [ i ] [ j − 1 ] n u m s 1 [ i − 1 ] 选择了 d p [ i − 1 ] [ j ] n u m s 2 [ j − 1 ] 选择了 d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] 两者都没选择。 dp[i][j]=\begin{cases} dp[i-1][j-1]+nums1[i-1]\times nums2[j-1] && 都选择 \\ dp[i][j-1] && nums1[i-1]选择了 \\ dp[i-1][j] && nums2[j-1]选择了 \\ dp[i-1][j-1] && 两者都没选择。\\ \end{cases} dp[i][j]=⎩ ⎨ ⎧dp[i−1][j−1]+nums1[i−1]×nums2[j−1]dp[i][j−1]dp[i−1][j]dp[i−1][j−1]都选择nums1[i−1]选择了nums2[j−1]选择了两者都没选择。
情况二和情况三都包括情况四。所以只需要比较前三种情况。
动态规划的填表顺序
枚举后序状态。i = 1 To n ,j = 1 To m
动态规划的初始状态
dp[0][?] = 0, dp[?][0]=0其它-1e9
动态规划的返回值
dp.back
如果一个num1全为负数，最大值为m1，num2全为正，最小值为m2。则直接返回 m1*m2。
nums2全为负，nums1全为正。
代码
核心代码
cpp
class Solution {
public:
int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
const int N = nums1.size();
const int M = nums2.size();
const auto& m1 = minmax_element(nums1.begin(), nums1.end());
const auto& m2 = minmax_element(nums2.begin(), nums2.end());
if ((*m1.first > 0) && (*m2.second < 0)) {
return *m1.first * *m2.second;
}
if ((*m2.first > 0) && (*m1.second < 0)) {
return *m2.first * *m1.second;
}
vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(M + 1,-1000'000'000 ));
dp[0].assign(M + 1, 0);
for (int i = 1; i <= N; i++) {
dp[i][0] = 0;
for (int j = 1; j <= M; j++) {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + nums1[i - 1] * nums2[j - 1], dp[i - 1][j]);
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
}
}
return dp.back().back();
}
};单元测试
cpp
vector<int> nums1, nums2;
TEST_METHOD(TestMethod1)
{
nums1 = { 2,1,-2,5 }, nums2 = { 3,0,-6 };
auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
AssertEx(18, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
nums1 = { 3,-2 }, nums2 = { 2,-6,7 };
auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
AssertEx(21, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod13)
{
nums1 = { -1,-1 }, nums2 = { 1,1 };
auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
AssertEx(-1, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod14)
{
nums1 = { 5,-4,-3 }, nums2 = { -4,-3,0,-4,2 };
auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
AssertEx(28, res);
}
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
