【C++动态规划】1458. 两个子序列的最大点积|1823

本文涉及知识点

下载及打开打包代码的方法兼述单元测试
 C++动态规划

LeetCode1458. 两个子序列的最大点积

LeetCode3290 和此题几乎相同。

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的非空子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说， $2,3,5$ 是 $1,2,3,4,5$ 的一个子序列而 $1,5,3$ 不是。

示例 1：

输入：nums1 = $2,1,-2,5$ , nums2 = $3,0,-6$

输出：18

解释：从 nums1 中得到子序列 $2,-2$ ，从 nums2 中得到子序列 $3,-6$ 。

它们的点积为 (23 + (-2) (-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = $3,-2$ , nums2 = $2,-6,7$

输出：21

解释：从 nums1 中得到子序列 $3$ ，从 nums2 中得到子序列 $7$ 。

它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = $-1,-1$ , nums2 = $1,1$

输出：-1

解释：从 nums1 中得到子序列 $-1$ ，从 nums2 中得到子序列 $1$ 。

它们的点积为 -1 。

提示：

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500

-1000 <= nums1 $i$ , nums2 $i$ <= 100

点积：

定义 a = $a1, a2,..., an$ 和 b = $b1, b2,..., bn$ 的点积为：
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n a⋅b=i=1∑naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn

这里的 Σ 指示总和符号。

动态规划## 动态规划的状态表示

dp $i$ $j$ 表示从nums1的前i个元素,nums2的前j个元素中选择子序列组成的最大点积和。空间复杂度：O(nm)。

动态规划的转移方程

d p $i$ $j$ = { d p $i - 1$ $j - 1$ + n u m s 1 $i - 1$ × n u m s 2 $j - 1$ 都选择 d p $i$ $j - 1$ n u m s 1 $i - 1$ 选择了 d p $i - 1$ $j$ n u m s 2 $j - 1$ 选择了 d p $i - 1$ $j - 1$ 两者都没选择。 dp $i$ $j$ =\begin{cases} dp $i-1$ $j-1$ +nums1 $i-1$ \times nums2 $j-1$ && 都选择 \\ dp $i$ $j-1$ && nums1 $i-1$ 选择了 \\ dp $i-1$ $j$ && nums2 $j-1$ 选择了 \\ dp $i-1$ $j-1$ && 两者都没选择。\\ \end{cases} dp $i$ $j$ =⎩ ⎨ ⎧dp $i-1$ $j-1$ +nums1 $i-1$ ×nums2 $j-1$ dp $i$ $j-1$ dp $i-1$ $j$ dp $i-1$ $j-1$ 都选择nums1 $i-1$ 选择了nums2 $j-1$ 选择了两者都没选择。

情况二和情况三都包括情况四。所以只需要比较前三种情况。

动态规划的填表顺序

枚举后序状态。i = 1 To n ,j = 1 To m

动态规划的初始状态

dp $0$ $?$ = 0, dp $?$ $0$ =0其它-1e9

动态规划的返回值

dp.back

如果一个num1全为负数，最大值为m1，num2全为正，最小值为m2。则直接返回 m1*m2。

nums2全为负，nums1全为正。

代码

核心代码

cpp 复制代码

class Solution {
		public:
			int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
				const int N = nums1.size();
				const int M = nums2.size();
				const auto& m1 = minmax_element(nums1.begin(), nums1.end());
				const auto& m2 = minmax_element(nums2.begin(), nums2.end());
				if ((*m1.first > 0) && (*m2.second < 0)) {
					return *m1.first * *m2.second;
				}
				if ((*m2.first > 0) && (*m1.second < 0)) {
					return *m2.first * *m1.second;
				}
				vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(M + 1,-1000'000'000 ));
				dp[0].assign(M + 1, 0);
				for (int i = 1; i <= N; i++) {
					dp[i][0] = 0;
					for (int j = 1; j <= M; j++) {
						dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + nums1[i - 1] * nums2[j - 1], dp[i - 1][j]);
						dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
					}
				}
				return dp.back().back();
			}
		};

单元测试

cpp 复制代码

vector<int> nums1, nums2;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			nums1 = { 2,1,-2,5 }, nums2 = { 3,0,-6 };
			auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
			AssertEx(18, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			nums1 = { 3,-2 }, nums2 = { 2,-6,7 };
			auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
			AssertEx(21, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			nums1 = { -1,-1 }, nums2 = { 1,1 };
			auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
			AssertEx(-1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			nums1 = { 5,-4,-3 }, nums2 = { -4,-3,0,-4,2 };
			auto res = Solution().maxDotProduct(nums1, nums2);
			AssertEx(28, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。