力扣面试题 39 - 三步问题 C语言解法

题目：

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

复制代码

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

示例2:

复制代码

 输入：n = 5
 输出：13

提示:

n范围在[1, 1000000]之间

思路：

找规律。写出n=1~5的情况，可以发现规律。
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n - 3)
如果使用递归，可以完成题目，但时间效率过低，呈指数级，因此需要优化
采用动态规划的思想优化算法，关于动态规划可以看我的这一篇什么是动态规划？内含代码示例-CSDN博客

先上错误答案，该代码无法通过测试用例，会超过系统响应时间！

原因分析：

default 分支使用递归计算 waysToStep(n - 1) + waysToStep(n - 2) + waysToStep(n - 3)，但没有优化。
直接递归会导致重复计算，时间复杂度是指数级，效率非常低。

cpp 复制代码

int waysToStep(int n) {
    int ret = 0;
    switch(n){
        case 1: ret = 1;break;
        case 2: ret = 2;break;
        case 3: ret = 4;break;
        default: 
        ret = waysToStep(n - 1) + waysToStep(n - 2) + waysToStep(n - 3);break;
    }
    return ret % 1000000007;
}

下面是正确答案：

cpp 复制代码

int waysToStep(int n) {
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 2;
    if(n == 3) return 4;
    int dp[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 4;
    for(int i = 4; i <= n; i++){
        dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % 1000000007 + dp[i - 3]) % 1000000007;
    }
    return dp[n];
}

我猜可能有小伙伴会疑惑，为什么要取模1000000007这个数字呢？

防止结果溢出

在计算过程中，随着 nnn 的增大，结果 f(n)的数值可能非常庞大，远超出普通整型数据类型（如 int 或 long）的存储范围。

在 C 语言中，int 通常是 32 位，最大值为 2^31 − 1=2147483647
若不取模，可能导致数值溢出，计算结果错误。

通过对 1000000007取模，可以确保每次计算结果保持在一个合理范围内，避免溢出。

选择 1000000007是因为它是一个大质数

大质数作为模数有以下好处：

减少冲突：质数的取模运算分布更均匀，避免因模数的因子导致的结果冲突。
数学性质良好：在许多算法中（如组合数学、同余定理等），质数模数可以简化计算，尤其是涉及模逆元时。

标准化常用值

1000000007是编程竞赛和算法题目中一个非常常用的模数。这是因为：
1. 它是大于 10^9 的最小质数，适合限制大规模运算。
2. 被广泛使用后形成了一种"惯例"，便于代码复用。

计算结果的独特性

取模操作保证了即使结果很大，其取模值仍然能唯一标识原始计算结果。因此它既能代表正确的计算结果，又不影响结果的相对大小关系。