【递归,搜索与回溯算法 & 记忆化搜索】深入理解记忆化搜索算法:记忆化搜索算法小专题


前言:实现记忆化搜索的一般步骤

(1) 实现记忆化搜索代码步骤



(2) 如何将暴搜代码转换成记忆化搜索代码?



(3)如何添加一个备忘录?



斐波那契数


题目解析



算法原理


解法一:递归



时间复杂度高是因为递归展开树有很多次重复计算,我们可以优化这些重复的计算;我们可以创建一个备忘录,当计算其中一个分支时,把计算出的 d(i) 放入一个"备忘录"中 ( i = 1 ....... n ),当递归其他分支时,我们通过备忘录存储好的计算结果,减少递归树额外重复的展开;


解法二:记忆化搜索


当我们在递归的时候,发现递归过程会重复进行完全相同的问题,我们就把这些完全相同的问题存储到额外创建的"备忘录"中,再后续递归出现相同问题,直接从备忘录中拿计算好的结果即可,避免不必要的重复递归;

所以记忆化搜索,就是一个带备忘录的递归;记忆化搜索,其实也是剪枝的一种方式,在本题使用记忆化搜索,就能把指数级别的时间复杂度降到常数级别;

本题我们存的可变参数和返回值的映射是< index , memory[ index ] >,表示< n , fib (n) >;


编写代码



解法三:动态规划


动态规划简单介绍

我们可以通过递归,来推出上面动态规划的五步,因为它们是一 一对应的关系 ;


常规的动态规划&记忆化搜索的本质




编写代码



拓展问题



不同路径


题目解析



为了避免处理过多边界情况,我们从下标1开始计数:


算法原理


解法:记忆化搜索



1. 写出暴搜代码


函数头

我们直接定义 dfs(int i , int j),给 dfs() 的任务:表示给一个坐标,通过递归求出,到达( i , j ) 坐标一共有多少种方法;


函数体


如果机器人想要到达一个位置,我们只需要关心到达这个目标位置的前一个位置即可,而前一个位置有两种情况:

如果我们知道:到达上面的圆圈有多少种方式,那么我们直接走到目标位置即可;


到达目标位置的路径数 = 目标位置的前一个位置的所有情况对应路径数之和;

dfs( i , j ) = dfs ( i - 1 , j ) + dfs ( i , j - 1 ) ( i > 0 && j > 0)


递归出口


目标位置是 ( 1 , 1 ),dfs( 1 , 1 ) = dfs ( 0 , 1 ) + dfs ( 1 , 0 ) ,此时就会出现越界情况;

所以递归出口 if ( i == 0 || j == 0 ) return 0 ,表示能到达 ( 0 , j ) 或者 ( i , 0 ) 的路径数之和为0;

还有一个递归出口,if ( i ==1 && j == 1 ) return 1,表示位于起点,路径数之和为 1



编写代码



暴搜转换成记忆化搜索



发现重复问题



添加备忘录



编写代码


处理细节问题




修改成动态规划代码



最长递增子序列


题目解析



算法原理


我们以这个例子进行讲解


递归


对于本题,要找出最长递增子序列,我们就可以先暴力查找所有递增子序列,在这些递增的子序列中,找到长度最长的子序列即可;


函数头


我们要找的是最长递增子序列的长度,所以 dfs 的任务:给一个起点,后续找出以这个起点的最长递增子序列长度;int dfs( int pos ) ,返回以 pos 为起点的最长递增子序列长度;


函数体


函数体会找以 pos 为起点之后的递增子序列的最大值 ,最大值+1 就是最终的返回值;


递归出口


本题不需要递归出口,因为我们使用的循环不会越界;


编写代码


这个 dfs 其实写出来要考虑很多东西,所以暴搜 -> 记忆化搜索 -> 动态规划这条思考路径也没有那么好用;


暴搜修改为记忆化搜索


重复子问题



编写代码


这道题使用记忆化搜索的时间复杂度高,是因为这道题的最优解是贪心算法;


细节问题



动态规划


注意填表顺序



我们这里解释一下填表顺序为什么是从后往前,我们先来看记忆化搜索的 dfs 函数体:

求 dfs( pos ) 时,是依赖 dfs( pos+1 ) 以及往后位置的值,因此我们在填 dp 表的 dp[ pos ],也需要依赖 dp[ pos+1 ] 以及 pos +1 后面的值,所以后面的值要先算出来;


解释状态表示 dp[ i ]


第二层循环用于遍历以 i+1 为起点后面的所有序列元素, 并且把最长递增子序列长度填入对应 dp 表中:


此时 dp[ i ] 存的是以 i 为起点的最长递增子序列的长度;

所以如果 nums[ i ] 是最大的元素,那么dp[ i ] =1;



注意返回值


我们填表的时候, dp[ i ] 记录的是以 i 这个位置的最长递增子序列的值和 i + 1 位置最长递增子序列的最大值;

但是返回值不是 dp 表某一个元素,而是 dp 表中所有元素的最大值;



猜数字大小Ⅱ


题目解析



算法原理


假设给的 n = 10,那么如果我们采用二分查找策略:


虽然能在一般情况下最快速地找到要猜到的数,但是我们保证赢的情况下(采取的决策面临的最坏情况),至少需要花的钱为决策树最长分支各个节点的总和:


所以对于这题,二分查找策略并不是最优解,最优解:


暴搜



我们要的是所有情况下的 i 拿到的所有最大值分支中,最小的那条分支( 合照最后一排最矮的人);

处理细节问题




编写代码



暴搜修改为记忆化搜索


重复子问题



添加备忘录



编写代码



矩阵中的最长递增路径


题目解析



算法原理


以矩阵的每一个位置为起点进行暴搜,找出每个起点所有的递增路径,返回递增路径的最大值;

然后最终返回所有起点最长递增路径的最大值即可;


解法:记忆化搜索


这里可以使用记忆化搜索,是因为当我们以某一个位置为起点时,这个位置的最长递增路径是固定的,我们把这个位置的最长递增路径存在备忘录中;

后续以别的位置为起点,递归到这个位置时,直接向上返回这个位置对应备忘录的元素即可;


处理细节问题


找递增路径决定了不需要设置标记数组



把 len 设置为参数(而不是全局遍历),表示当调用新的 dfs ,把 len 置为1,1 代表已经算上这个位置的方格;

我们每次递归都要找新的 ( x , y ) 的所有递增路径,并且让 len 等于这些路径的最大值;


我们解释一下为什么要拿 len 和 dfs( x , y ) + 1 进行比较:


编写代码


暴搜


记忆化搜索



**【递归,搜索与回溯】 专题完结啦! 撒花 !**😊😊💖💖🎈🎉🎉🎉

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