条件概率&独立事件
随机变量
+- 离散型随机变量
+- 非离散型随机变量
- 连续型随机变量
- 奇异性型随机变量
概率表示
- 概率分布函数
- 概率密度函数
- 概率质量函数
- 全概率公式
- 贝叶斯公式
概率计算
- 数学期望
- 方差
- 协方差
计算实例
- 假设有两个离散型随机变量X和Y，它们代表某天中两个不同时间段内通过某个路口的车辆数。以下是随机变量X和Y的概率分布：
X的概率分布（0点到6点）：
- P(X=0) = 0.2（没有车辆通过）
- P(X=1) = 0.5（1辆车通过）
- P(X=2) = 0.3（2辆车通过）
Y的概率分布（6点到12点）：
- P(Y=0) = 0.1（没有车辆通过）
- P(Y=1) = 0.4（1辆车通过）
- P(Y=2) = 0.3（2辆车通过）
- P(Y=3) = 0.2（3辆车通过）
首先，我们计算X的数学期望（E(X)和E(Y)）：
- E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2)= 0 * 0.2 + 1 * 0.5 + 2 * 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6= 1.1
- E(Y) = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) + 2 * P(Y=2) + 3 * P(Y=3) = 0 * 0.1 + 1 * 0.4 + 2 * 0.3 + 3 * 0.2= 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6= 1.6
X加权期望值是: 1.1
X加权方差是: 0.49
Y加权期望值是: 1.6
X加权方差是: 0.8400000000000001
现在，计算方差（D(X),D(Y)）：
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
-
E(X^2)： E(X^2) = 0^2 * P(X=0) + 1^2 * P(X=1) + 2^2 * P(X=2) = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7
-
然后计算方差： D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.7 - (1.1)^2 = 1.7 - 1.21 = 0.49
D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
-
E(Y^2)： E(Y^2) = 0^2 * P(Y=0) + 1^2 * P(Y=1) + 2^2 * P(Y=2) + 3^2 * P(Y=3) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 = 3.4
-
然后计算方差： D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84
公式推导
最后，我们计算X和Y的协方差（Cov(X,Y)）：
根据这些结果，协方差 Cov(X,Y) 的计算结果为-4.440892098500626e-16)
这个值非常接近于0，说明在独立性假设下，X和Y几乎没有线性相关性。
实际上，这个极小的负值可以被视为计算中的舍入误差，可以忽略不计。
因此，我们可以认为在独立性假设下，X和Y的协方差为0。