【39. 组合总和中等】

题目：

给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。你可以按任意顺序返回这些组合。

candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7

输出：[[2,2,3],[7]]

解释：

2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。

7 也是一个候选， 7 = 7 。

仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8

输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1

输出: []

提示：

1 <= candidates.length <= 30
2 <= candidates[i] <= 40
candidates 的所有元素互不相同
1 <= target <= 40

思路：

回溯三部曲

递归函数参数

这里依然是定义三个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果，sum是path中的元素之和。（这两个变量可以作为函数参数传入）

首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合，216.组合总和III。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合

注意以上只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面在讲解排列的时候会重点介绍。

代码如下：

cpp 复制代码

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
int sum = 0;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int startIndex)

递归终止条件

在如下树形结构中：

从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。

sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：

cpp 复制代码

if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}

单层搜索的逻辑
单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。

注意本题和77.组合、216.组合总和III的一个区别是：本题元素为可重复选取的。

如何重复选取呢，看代码，注释部分：

cpp 复制代码

for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}

剪枝优化

在这个树形结构中：

以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。

其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。

那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。

对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

如图：

for循环剪枝代码如下：

cpp 复制代码

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)

采用上述剪枝优化后，需要先对candidates排序

cpp 复制代码

sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    int sum = 0;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int startIndex){
        if(sum > target) return;
        if(sum == target){
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for(int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++){
            path.push_back(candidates[i]);  //  处理节点
            sum += candidates[i];
            backtracking(candidates, target, i);    //  递归
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();    //  回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); //  添加了该剪枝优化：sum + candidates[i] <= target，需要先排序
        backtracking(candidates, target, 0);
        return result;
    }
};

总结：

时间复杂度: O(n * 2^n)，注意这只是复杂度的上界，因为剪枝的存在，真实的时间复杂度远小于此

空间复杂度: O(target)

本题和之前的77.组合、216.组合总和III有两点不同：

组合没有数量要求
元素可无限重复选取

针对这两个问题，都做了详细的分析。

并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用17.电话号码的字母组合做了对比。

最后还给出了本题的剪枝优化。

在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！

参考：

代码随想录

【39. 组合总和 中等】

题目：

思路：

回溯三部曲

剪枝优化

代码：

总结：

参考：

【39. 组合总和中等】