给定欧氏平面中的一组线可以形成的三角形的数量(Number of Triangles that can be formed given a set of lines in Euclidean Plane)
给定欧氏平面上的 n 条不同直线的集合 L = {l 1 , l 2 , ........., l n }。第i 条直线由形式为 a i x + b i y = c i的方程给出。求出可以使用集合 L 中的直线形成的三角形的数量。请注意，没有两对直线会在同一点相交。
**注意：**此问题未提及直线不能平行，这使得问题难以解决。
例子：
输入： a[] = {1, 2, 3, 4}
b[] = {2, 4, 5, 5}
c[] = {5, 7, 8, 6}
**输出：**2
可以形成的三角形数量为：2
输入： a[] = {1, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 5}
b[] = {2, 4, 6, 3, 6, 5, 10, 15, 20, 25}
c[] = {3, 5, 11, 10, 9, 17, 13, 11, 7, 3}
**输出：**30
可以形成的三角形数量为：30
朴素算法
朴素算法可以描述为：
1、从集合 L 中选取 3 条任意线。
2、现在检查是否可以使用选定的 3 条线形成三角形。这可以通过检查它们是否都是平行线来轻松完成。
3、如果可以形成三角形，则增加计数器。
时间复杂度： 有n C 3 （如图：
）个三元组线。对于每个三元组，我们必须进行 3 次比较才能检查任何 2 条线是否不平行，这意味着检查可以在 O(1) 时间内完成。这使得朴素算法成为 O(n 3 ),如图： 
。
高效算法
这也可以在 O(n log n) 中实现。高效算法背后的逻辑如下所述。
我们将集合 L 划分为各种子集。子集的形成基于斜率，即特定子集中的所有线具有相同的斜率，即它们彼此平行。
让我们考虑三个集合（例如 A、B 和 C）。对于特定集合（例如 A），属于该集合的线都是彼此平行的。如果我们有 A、B 和 C，我们可以从每个集合中挑选一条线来得到一个三角形，因为这些线都不会平行。通过制作子集，我们确保没有两条平行的线被一起挑选。
现在如果我们只有这3 个子集，
三角形的数量 =（从 A 中选取一条线的方式数量）*
（从 B 中选取一条线的方式数量）*
（从 C 中选取一条线的方式数量）
= m1*m2*m3
这里 m1 是具有第一个斜率的元素的数量（在集合 A 中）
这里 m2 是具有第一个斜率的元素的数量（在集合 B 中）
这里 m3 是具有第一个斜率的元素的数量（在集合 C 中）
类似地，如果我们有4 个子集，我们可以扩展这个逻辑来得到，
三角形数量 = m1*m2*m3 + m1*m2*m4 + m1*m3*m4 + m2*m3*m4
对于大于 3 的子集数量，如果我们有"k"个子集，我们的任务是找到每次取 3 个子集元素数量的总和。这可以通过维护一个计数数组来完成。我们创建一个计数数组，其中计数i表示第i 个平行线子集的数量。
我们逐一计算以下值。
sum1 = m1 + m2 + m3 .....
sum2 = m1*m2 + m1*m3 + ... + m2*m3 + m2*m4 + ...
sum3 = m1*m2*m3 + m1*m2*m4 + ...... m2*m3*m4 + ....
sum3 给出我们的最终答案
示例代码：
// C# program to find the number of
// triangles that can be formed
// using a set of lines in Euclidean
// Plane
using System.Collections.Generic;
using System;
class GFG{
static double EPSILON = 1.0842e-19;
// Double variables can't be checked precisely
// using '==' this function returns true if
// the double variables are equal
static bool compareDoubles(double A, double B)
{
double diff = A - B;
return (diff < EPSILON) &&
(-diff < EPSILON);
}
// This function returns the number of
// triangles for a given set of lines
static int numberOfTringles(int []a, int []b,
int []c, int n)
{
// Slope array stores the slope of lines
List<double> slope = new List<double>();
for(int i = 0; i < n; i++)
slope.Add((double)(a[i] * 1.0) / b[i]);
// Slope array is sorted so that all lines
// with same slope come together
slope.Sort();
// After sorting slopes, count different
// slopes. k is index in count[].
int []count = new int [n];
int k = 0;
// Count of current slope
int this_count = 1;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if (compareDoubles((double)slope[i],
(double)slope[i - 1]))
this_count++;
else
{
count[k++] = this_count;
this_count = 1;
}
}
count[k++] = this_count;
// Calculating sum1 (Sum of all slopes)
// sum1 = m1 + m2 + ...
int sum1 = 0;
for(int i = 0; i < k; i++)
sum1 += count[i];
// Calculating sum2. sum2 = m1*m2 + m2*m3 + ...
int sum2 = 0;
// Needed for sum3
int []temp = new int [n];
for(int i = 0; i < k; i++)
{
temp[i] = count[i] * (sum1 - count[i]);
sum2 += temp[i];
}
sum2 /= 2;
// Calculating sum3 which gives
// the final answer
// m1 * m2 * m3 + m2 * m3 * m4 + ...
int sum3 = 0;
for(int i = 0; i < k; i++)
sum3 += count[i] * (sum2 - temp[i]);
sum3 /= 3;
return sum3;
}
// Driver code
public static void Main()
{
// lines are stored as arrays of a, b
// and c for 'ax+by=c'
int []a = { 1, 2, 3, 4 };
int []b = { 2, 4, 5, 5 };
int []c = { 5, 7, 8, 6 };
// n is the number of lines
int n = a.Length;
Console.WriteLine("The number of triangles " +
"that can be formed are: " +
numberOfTringles(a, b, c, n));
}
}
// This code is contributed by Stream_Cipher
输出：
可形成的三角形数量为：2
**时间复杂度：**代码中的所有循环都是 O(n)。因此，此实现中的时间复杂度由用于对斜率数组进行排序的排序函数决定。这使得算法为 O(nlogn)。
**辅助空间：**O(n)
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