LeetCode | 不同路径

Mryan20052025-01-27 22:27

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向下 -> 向下
向下 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：

输入：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3

输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路

在过去，有这样一个词，那就是遇难则反，从起点推导出最小路径和是困难的，那我们就从终点去推导。

解题过程

我们都知道一个方块，只能向右或向下。在初始化dp之后，我们会有这样一条关系式：

d p $i$ $j$ = { 1 if i = = m − 1 a n d j = = n − 1 d p $i + 1$ $j$ + d p $i$ $j + 1$ if i + 1 < m a n d j + 1 < n d p $i + 1$ $j$ if i + 1 < m d p $i$ $j + 1$ if j + 1 < n dp $i$ $j$ = \left\{\begin{matrix} 1 &\text{if } i == m-1 \ and \ j == n-1 \\ dp $i+1$ $j$ + dp $i$ $j+1$ &\text{if } i+1 < m \ and \ j+1 < n \\ dp $i+1$ $j$ &\text{if } i+1 < m \\ dp $i$ $j+1$ &\text{if } \ j+1 < n \end{matrix} \right. dp $i$ $j$ =⎩ ⎨ ⎧1dp $i+1$ $j$ +dp $i$ $j+1$ dp $i+1$ $j$ dp $i$ $j+1$ if i==m−1 and j==n−1if i+1<m and j+1<nif i+1<mif j+1<n

复杂度

时间复杂度: O ( N ⋅ M ) O(N \cdot M) O(N⋅M)

空间复杂度: O ( N ⋅ M ) O(N \cdot M) O(N⋅M)

Code

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[120][120];
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = 0;
            }
        }
        dp[m-1][n-1] = 1;
        for(int i = m-1; i >= 0; --i) {
            for(int j = n-1; j >= 0; --j) {
                if(i == m-1 && j == n-1) continue;
                if(i+1 < m && j+1 < n) {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1];
                } else {
                    if(i+1 < m) {
                        dp[i][j] = dp[i+1][j];
                    }
                    if(j+1 < n) {
                        dp[i][j] = dp[i][j+1];
                    }
                }
            }
        }
		return dp[0][0];
    }
};