数学公式推导是密码学的基础, 故开一个新的课题 -- 密码学的数学基础系列
素数 / 质数
质数又称素数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）
素数在公钥密码学中的作用？
用于密钥生成，选取一定长度（512 bit）的素数p和q，计算 N = p ∗ q N=p*q N=p∗q
公钥密码
RSA (基于大整数质数分解的困难问题)
RSA本身就是建立在分解两个大素数乘积的困难性上。两个大素数，相乘非常容易，也非常快，要分解这个乘积却是极为困难。
RSA算法的安全性是由因式分解的困难程度而定的。如果能够找出因式分解那么破解RSA将很容易。
RSA的建议。两个大质数p和q, p ∗ q = N p*q=N p∗q=N
p和q的相差比较大。防止对N开平方试探。
p-1和q-1有较大的因子。
椭圆曲线(Elliptic Curve Cryptography, ECC) (基于椭圆曲线上的离散对数问题)
利用的是在椭圆曲线上 乘法运算的逆运算 非常困难 的特性
-
比特币使用的
secp256k1椭圆曲线方程是 x 2 = y 3 + 7 x^2 = y^3+7 x2=y3+7 -
ed25519的椭圆曲线方程: y 2 = x 3 + 486662 x 2 + x , m o d u l o p = 2 255 − 19 y^2 = x^3+486662x^2+x,modulop=2^{255}-19 y2=x3+486662x2+x,modulop=2255−19
Pailier(基于复合剩余类的困难问题)
是一种用于公钥加密的概率非对称算法，基于复合剩余类的困难问题（Composite Degree Residuosity Classes），构造在模数取为 n 2 n^2 n2 的剩余类{0,1,2,..., n 2 − 1 n^2-1 n2−1}上(二次剩余)。满足加法同态，即密文相乘等于明文相加： D ( E ( m 1 ) ⋅ E ( m 2 ) ) = m 1 + m 2 D(E(m_1)·E(m_2))=m_1+m_2 D(E(m1)⋅E(m2))=m1+m2
支持加法同态, 乘法其实也是变相的加法:
D ( E ( m 1 ) E ( m 2 ) ) = m 1 ∗ m 2 D(E(m_1)^{E(m_2)})=m_1*m_2 D(E(m1)E(m2))=m1∗m2
FISCO BCOS采用的是paillier加密算法，支持加法同态。paillier的公私钥兼容主流的RSA加密算法，接入门槛低。同时paillier作为一种轻量级的同态加密算法，计算开销小易被业务系统接受。因此经过功能性和可用性的权衡，最终选定了paillier算法。
术语
- 最大公约数gcd:辗转相除法，又称欧几里得算法
- 最小公倍数lcm
- 二次剩余：X^2在数论中，特别在同余理论里，一个整数X对另一个整数p的二次剩余，是指x的平方除以p得到的余数
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