算法与数据结构（爬楼梯）

a_j582025-02-10 9:22

题目

思路

这道题我们可以使用动态规划。

用f(x)代表爬到第x级台阶的方案数，爬到x级台阶只有两种方法，一种是从前一层（x-1）爬一层台阶或从前两层（x-2）爬两级台阶即可。

f(x) = f(x-1)+f(x-2)

它意味着到x层台阶的方案数等于到x-1层和x-2层之和，很好理解。因为每次只能爬一个或两个台阶，所以f(x)只能从f(x-1)和f(x-2)转移来，因为要求方案总数，所以就对两边求和。

解题过程

首先列出特殊情况：0，1，2

接着定义一个数组f

f $0$ 代表一层台阶的方案数

f $1$ 代表两层台阶的方案数

i从2开始循环，说明从第三层台阶开始算，爬到第三层的方案数等于爬到第一层与爬到第二层方案数的总和。最后f $n-1$ 即为爬到最后一层台阶的方案数

代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        //从三楼开始，只有两种上楼方式，从前一层爬一楼或者从前两层爬两楼
        //可以推出f(n) = f(n-1)+f(n-2)
        vector<int> f(n);
        f[0] = 1;
        f[1] = 2;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        return f[n-1];
    }
};

优化

这个题的时间复杂度是O（N）,空间复杂度也是O（N），因为创建了一个空间为n的数组。

因为f(x)只与f(x-1)和f(x-2)有关，所以我们可以用p代表f $0$ ,q代表f $1$ ，r代表f $i$ 。

利用滚动数组的思想将空间复杂度降为1。

不断改变p,q,r的值将数组向前推移

cpp 复制代码

 int p = 1;

        int q = 2;

        int r = 0;

        for(int i=2;i<n;i++)

        {

            r = p + q;

            p = q;

            q = r;

        }

        return r;