七 求解Ax=0，主列和自由列
1. 消元、秩、特解
矩阵消元
1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ⏟ A ⇒ r o w 2 − 2 r o w 1 , r o w 3 − 3 r o w 1 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 2 4 ⇒ 行阶梯形式 r o w 3 − r o w 2 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ⏟ 主列\|自由列\|主列\|自由列\| \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 2&4 &6&8\\ 3&6&8&10 \end{bmatrix}}{A} \xRightarrow{row_2-2row_1,row_3-3row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&2&4 \end{bmatrix} \xRightarrow行阶梯形式{row_3-row_2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}{\text{主列\|自由列\|主列\|自由列\|}} A 1232462682810 row2−2row1,row3−3row1 100200222244 row3−row2 行阶梯形式主列\|自由列\|主列\|自由列\| 100200220240
其中，框住的数，为主元。
矩阵的秩 定义： 主元的个数
回代，得到方程组
{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 3 + 4 x 4 = 0 ⇒ x = c − 2 1 0 0 + d 2 0 − 2 1 \begin{cases} x_1 +2x_2 + 2x_3+2x_4 = 0 \\ 2x_3+4x_4 = 0 \end{cases} \xRightarrow{} x = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} {x1+2x2+2x3+2x4=02x3+4x4=0 x=c −2100 +d 20−21
特解
枚举每个自由变量，其值为1，其余自由变量为0，计算特解
当 x 2 = 1 , x 4 = 0 x_2=1,x_4=0 x2=1,x4=0 进行回代，解出 x 1 , x 3 x_1,x_3 x1,x3
当 x 2 = 0 , x 4 = 1 x_2=0,x_4=1 x2=0,x4=1 进行回代，解出 x 1 , x 3 x_1,x_3 x1,x3
特解的个数 = 自由变量的个数
零空间
特解的线性组合
x = c − 2 1 0 0 + d 2 0 − 2 1 x = c\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} x=c −2100 +d 20−21
2. 简化行阶梯形式 :主元上下都是0，主元简化为1
1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ⏟ 主列\|自由列\|主列\|自由列\| ⇒ r o w 1 − 2 r o w 2 1 2 0 − 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ⇒ r o w 2 / 2 1 2 0 − 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ⏟ R 1 \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&2&2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}{\text{主列\|自由列\|主列\|自由列\|}} \xRightarrow{row_1-2row_2} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&0&-2\\ 0&0&\boxed{2} &4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \xRightarrow{row_2/2} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&0&-2\\ 0&0&\boxed{1} &2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}}{R_1} 主列\|自由列\|主列\|自由列\| 100200220240 row1−2row2 100200020−240 row2/2 R1 100200010−220
主列构成的矩阵为 1 0 0 1 \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} 1001
自由列构成的矩阵为 2 − 2 0 2 \begin{bmatrix} 2&-2\\0&2 \end{bmatrix} 20−22
那么 R 1 R_1 R1进行第二三列交换为 R R R后，可以写成 I F 0 0 \begin{bmatrix} I&F\\0&0 \end{bmatrix} I0F0
求解 R x = 0 Rx=0 Rx=0，那么解为 N ( R ) = − F I N(R)=\begin{bmatrix} -F\\I \end{bmatrix} N(R)=−FI，即 N = − 2 2 0 − 2 1 0 0 1 N = \begin{bmatrix} -2&2\\0&-2\\1&0\\0&1 \end{bmatrix} N= −20102−201
那么 R 1 x = 0 R_1x=0 R1x=0的零空间，用矩阵表示为 N ( R 1 ) = − 2 2 1 0 0 − 2 0 1 N(R_1) = \begin{bmatrix} -2&2\\ 1&0\\ 0&-2\\ 0&1 \end{bmatrix} N(R1)= −210020−21 。（交换了 N ( R ) N(R) N(R)的二三行）
矩阵进行行交换(左乘矩阵)，是不影响 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，而进行列交换(右乘矩阵)是影响解的位置的。
列交换相当于 ( A E ) ( E − 1 x ) = 0 (AE)(E^-1x)=0 (AE)(E−1x)=0