线性代数 - 正交矩阵

flyfish

理解1 向量几何属性（正交、单位长度）

设A\boldsymbol{A}A是一个nnn阶实方阵 ，若A\boldsymbol{A}A的列向量组或行向量组 同时满足以下两个条件，则A\boldsymbol{A}A是正交矩阵：

两两正交：任意两个不同的列向量（或行向量）的内积为0；
单位向量：每个列向量（或行向量）的模长（长度）为1。

理解2 矩阵代数运算（转置、逆、单位矩阵）

设A\boldsymbol{A}A是一个nnn阶实方阵 ，若满足以下两个等价条件之一，则A\boldsymbol{A}A是正交矩阵：

A\boldsymbol{A}A的转置矩阵 等于其逆矩阵 ，即 AT=A−1\boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}^{-1}AT=A−1；
A\boldsymbol{A}A与其转置矩阵的乘积为单位矩阵 ，即 AAT=ATA=In\boldsymbol{AA}^T = \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A} = \boldsymbol{I}_nAAT=ATA=In（其中In\boldsymbol{I}_nIn是nnn阶单位矩阵）。

AT\boldsymbol{A^T}AT（Transpose of A）：矩阵A\boldsymbol{A}A的转置矩阵 （行和列交换后的矩阵）。
A−1\boldsymbol{A^{-1}}A−1（Inverse of A）：矩阵A\boldsymbol{A}A的逆矩阵 （满足A⋅A−1=I\boldsymbol{A \cdot A^{-1} = I}A⋅A−1=I的矩阵）。
I\boldsymbol{I}I（Identity matrix）：单位矩阵（主对角线元素为1，其余为0的方阵）。

正交矩阵示例

如果一个元素为实数的方阵的转置等于该矩阵的逆矩阵 ，那么这个矩阵被称为正交矩阵。

2×2正交矩阵示例

考虑一个2×2矩阵，即
A=[cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{bmatrix}A=[cosx−sinxsinxcosx]

我们通过计算该矩阵与其转置的乘积来验证。

矩阵的转置为
AT=[cos⁡x−sin⁡xsin⁡xcos⁡x]\boldsymbol{A}^T = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix}AT=[cosxsinx−sinxcosx]

因此，
A⋅AT=[cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x]⋅[cos⁡x−sin⁡xsin⁡xcos⁡x]\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}^T = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix}A⋅AT=[cosx−sinxsinxcosx]⋅[cosxsinx−sinxcosx]

展开计算：
A⋅AT=[cos⁡2x+sin⁡2xsin⁡xcos⁡x−sin⁡xcos⁡xcos⁡xsin⁡x−cos⁡xsin⁡xsin⁡2x+cos⁡2x]\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}^T = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & \sin x \cos x - \sin x \cos x \\ \cos x \sin x - \cos x \sin x & \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix}A⋅AT=[cos2x+sin2xcosxsinx−cosxsinxsinxcosx−sinxcosxsin2x+cos2x]

化简后：
A⋅AT=[1001]\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}A⋅AT=[1001]

这是单位矩阵。

因此，A\boldsymbol{A}A是一个2阶正交矩阵的示例。

3×3正交矩阵示例

考虑三维旋转矩阵，即3×3矩阵
A=[1000cos⁡(θ)−sin⁡(θ)0sin⁡(θ)cos⁡(θ)]\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}A= 1000cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)

要验证该矩阵是正交矩阵，需满足以下两点：

验证矩阵的每一列和每一行都是单位向量 （即模长为1的向量）；

验证列与列、行与行之间两两正交（即任意两行或两列的点积为0）。

从矩阵中提取列向量：

列1：[100]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 100

列2：[0cos⁡(θ)sin⁡(θ)]\begin{bmatrix} 0 \\ \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} 0cos(θ)sin(θ)

列3：[0−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]\begin{bmatrix} 0 \\ -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} 0−sin(θ)cos(θ)

验证列向量为单位向量 ：

列1的模长：∥[100]∥=12+02+02=1\left\Vert \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\Vert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 100 =12+02+02 =1

列2的模长：∥[0cos⁡(θ)sin⁡(θ)]∥=02+cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)=1\left\Vert \begin{bmatrix} 0 \\ \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} \right\Vert = \sqrt{0^2 + \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = 1 0cos(θ)sin(θ) =02+cos2(θ)+sin2(θ) =1

列3的模长：∥[0−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]∥=02+sin⁡2(θ)+cos⁡2(θ)=1\left\Vert \begin{bmatrix} 0 \\ -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} \right\Vert = \sqrt{0^2 + \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)} = 1 0−sin(θ)cos(θ) =02+sin2(θ)+cos2(θ) =1

因此，每一列都是单位向量。

验证列向量两两正交 ：

以列1和列2的点积为例：

100\]⋅\[0cos⁡(θ)sin⁡(θ)\]=1⋅0+0⋅cos⁡(θ)+0⋅sin⁡(θ)=0\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix} 0 \\\\ \\cos(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) \\end{bmatrix} = 1 \\cdot 0 + 0 \\cdot \\cos(\\theta) + 0 \\cdot \\sin(\\theta) = 0 100 ⋅ 0cos(θ)sin(θ) =1⋅0+0⋅cos(θ)+0⋅sin(θ)=0 类似地，可验证其他列之间的点积也为0。 因此，该矩阵满足正交矩阵的所有条件。