代码随想录算法训练
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前言
今天是算法营的第60天，希望自己能够坚持下来！
今天开始学并查集，今日任务：
● 并查集理论基础
● 寻找存在的路径
一、并查集理论基础
并查集主要有两个功能：
- 将两个元素添加到一个集合中。
- 判断两个元素在不在同一个集合。
元素连接join
将三个元素A，B，C （分别是数字）放在同一个集合，其实就是将三个元素连通在一起，如何连通呢。
只需要用一个一维数组来表示，即：father[A] = B，father[B] = C 这样就表述 A 与 B 与 C连通了（有向连通图）。
代码如下：
cpp
// 将v，u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
u = find(u); // 寻找u的根
v = find(v); // 寻找v的根
if (u == v) return; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
father[v] = u;
}寻根find
只要 A ，B，C 在同一个根下就是同一个集合。
给出A元素，就可以通过 father[A] = B，father[B] = C，找到根为 C。
给出B元素，就可以通过 father[B] = C，找到根也为为 C，说明 A 和 B 是在同一个集合里。
代码如下：
cpp
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
if (u == father[u]) return u; // 如果根就是自己，直接返回
else return find(father[u]); // 如果根不是自己，就根据数组下标一层一层向下找
}初始化init
如何表示 C 也在同一个元素里呢？ 我们需要 father[C] = C，即C的根也为C，这样就方便表示 A，B，C 都在同一个集合里了。
所以father数组初始化的时候要 father[i] = i，默认自己指向自己。
代码如下：
cpp
// 并查集初始化
void init() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
father[i] = i;
}
}判断两个元素是否在同一个集合
找两个元素的根，判断是否根相同，代码如下：
cpp
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
return u == v;
}路径压缩
在实现 find 函数的过程中，通过递归的方式，不断获取father数组下标对应的数值，最终找到这个集合的根。
如果这棵多叉树高度很深的话，每次find函数 去寻找根的过程就要递归很多次。
其实我们只需要直到这些节点都在同一个根下就可以了，也就是将节点构造成如下图：
在代码上实现，就是用father[u]来接住find寻根的结果，使得每次调用find的时候都可以更新结构，让元素直接指向根。代码如下：
cpp
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
if (u == father[u]) return u;
else return father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}使用三元表达式可以精简为：
cpp
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}并查集代码模板
cpp
int n = 1005; // n根据题目中节点数量而定，一般比节点数量大一点就好
vector<int> father = vector<int> (n, 0); // C++里的一种数组结构
// 并查集初始化
void init() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
father[i] = i;
}
}
// 并查集里寻根的过程
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}
// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
return u == v;
}
// 将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
u = find(u); // 寻找u的根
v = find(v); // 寻找v的根
if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
father[v] = u;
}复杂度分析
空间复杂度： O(n) ，申请一个father数组。
时间复杂度：路径压缩后的并查集时间复杂度在O(logn)与O(1)之间，且随着查询或者合并操作的增加，时间复杂度会越来越趋于O(1)。
二、107. 寻找存在的路径
思路：
题目中各个点是双向图链接，
那么判断 一个顶点到另一个顶点有没有有效路径，
其实就是看这两个顶点是否在同一个集合里。
如何算是同一个集合呢，有边连在一起，就算是一个集合。
那么就可以直接套用并查集模板。
使用 join(int u, int v)将每条边加入到并查集。
最后 isSame(int u, int v) 判断是否是同一个根 就可以了。
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n;//节点数量
vector<int> father = vector<int> (101, 0); //按照节点大小定义数组大小
//并查集初始化
void init() {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
father[i] = i;
}
}
//并查集里寻根的过程
int find(int u) {
return u == father[u]? u : father[u] = find(father[u]);
}
//判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
return u == v;
}
//将v->u 这条边加入并查集
void join(int u, int v) {
u = find(u); //寻找u的根
v = find(v); //寻找v的根
if (u == v) return; //如果根相同，说明已经在一个集合里了，不需要操作，直接返回
father[v] = u;
}
int main() {
int m, s, t, source, dest;
cin >> n >> m;
init(); //初始化
while (m--) {
cin >> s >> t;
join(s, t);
}
cin >> source >> dest;
if (isSame(source, dest)) cout << 1 << endl;
else cout << 0 << endl;
}总结
并查集的功能：
- 寻找根节点，find(int u)
- 将两个节点添加到同一个集合里，join(int u, int v)
- 判断两个节点是否在同一个集合，isSame(int u, int v)
明天继续加油！