多源 BFS 是一种解决 边权为 1 的多源最短路问题 的高效算法。其核心思想是将所有源点视为一个"超级源点"，通过一次 BFS 遍历即可计算所有节点到最近源点的最短距离。以下从原理、实现和代码示例三个方面深入讲解：
目录
[1. 单源 BFS vs 多源 BFS](#1. 单源 BFS vs 多源 BFS)
[2. 正确性证明](#2. 正确性证明)
[3. 时间复杂度](#3. 时间复杂度)
[二、C++ 实现步骤](#二、C++ 实现步骤)
[1. 初始化](#1. 初始化)
[2. BFS 扩展](#2. BFS 扩展)
[BFS 扩展阶段](#BFS 扩展阶段)
一、原理分析
1. 单源 BFS vs 多源 BFS
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单源 BFS：从单一源点出发，逐层扩展，记录每个节点到该源点的最短距离。
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多源 BFS ：将多个源点 同时加入队列，作为 BFS 的初始层。每个节点被首次访问时，记录的是到最近源点的最短距离。
2. 正确性证明
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BFS 的逐层扩展特性保证：当某个节点被首次访问时，其路径长度即为最短距离。
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所有源点同时作为初始层，相当于它们处于"第 0 层"，后续扩展的层数即为到最近源点的距离。
3. 时间复杂度
- 与单源 BFS 相同，时间复杂度为 O(N)（假设共 N 个节点），每个节点和边仅被处理一次。
二、C++ 实现步骤
以二维网格为例，假设 grid 表示网格，其中 1 为源点，0 为可通行节点。目标是计算每个节点到最近源点的距离。
1. 初始化
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队列：将所有源点坐标加入队列。
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距离数组 ：源点距离初始化为
0，其他节点初始化为-1（表示未访问）。
2. BFS 扩展
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从队列中取出节点，检查其四个方向（上、下、左、右）。
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若相邻节点未被访问过，更新其距离并加入队列。
三、代码示例
cpp
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
vector<vector<int>> multiSourceBFS(vector<vector<int>>& grid) {
int rows = grid.size();
int cols = grid[0].size();
queue<pair<int, int>> q;
vector<vector<int>> dist(rows, vector<int>(cols, -1));
// 初始化：将所有源点加入队列，并设置距离为 0
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
if (grid[i][j] == 1) {
q.push({i, j});
dist[i][j] = 0;
}
}
}
// 四个移动方向：上、下、左、右
vector<pair<int, int>> dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};
while (!q.empty()) {
auto [x, y] = q.front();
q.pop();
for (auto [dx, dy] : dirs) {
int nx = x + dx;
int ny = y + dy;
// 检查边界和是否已访问
if (nx >= 0 && nx < rows && ny >= 0 && ny < cols && dist[nx][ny] == -1) {
dist[nx][ny] = dist[x][y] + 1;
q.push({nx, ny});
}
}
}
return dist;
}四、代码解释
初始化阶段
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遍历网格，将所有源点（值为
1）的坐标加入队列，并设置其距离为0。 -
其他节点的距离初始化为
-1，表示未访问。
BFS 扩展阶段
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从队列中取出节点，检查四个方向的相邻节点。
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若相邻节点在网格内且未被访问，更新其距离为当前节点距离
+1，并将其加入队列。
五、应用场景
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计算多个起点到所有节点的最短距离（如疫情传播模拟、火源蔓延模型）。
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地图中多个商店到用户的最短路径计算。
六、注意事项
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边权必须为 1：若边权不同，需使用 Dijkstra 或 Floyd-Warshall 算法。
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空间优化：可直接在原数组上修改距离，避免额外空间开销。
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性能优势：相比暴力法（每个源点单独 BFS），时间复杂度从 O(kN) 优化到 O(N)，其中 k 是源点数量。
通过多源 BFS，我们能够以高效的方式解决多个起点同时扩散的最短路径问题，是图论中一种重要的优化技巧。