问题背景
阈值 δ \delta δ 是 Huber 鲁棒核函数的重要参数。首先给出结论，在ORB-SLAM系列中，该阈值选取的原则为：
- 单目情况下，根据95%置信水平下两自由度卡方检验 的临界值， δ \delta δ 设置为 5.991 \sqrt{5.991} 5.991 ；
- 双目情况下，根据95%置信水平下三自由度卡方检验 的临界值， δ \delta δ 设置为 7.815 \sqrt{7.815} 7.815 ；
下面详细描述了以这种方式设置Huber损失函数的原因。
Huber鲁棒核函数
使用的Huber鲁棒核函数定义如下：
当误差 e e e 超过阈值 δ \delta δ 时，函数的增长从二次型变为线性型。在构建视觉重投影误差的背景下，我们假设当重投影误差超过某个阈值时，有95%的置信度认为是由于错误匹配导致的离群点，从而以线性的方式添加到代价函数中；否则，以二次函数方式计算误差。通过这样的方式，限制了错误匹配对优化算法的影响。
单目相机分析
接下来，我们首先分析单目相机配置中的重投影误差。令 u ∈ R 2 \mathbf{u} \in \mathbb{R}^2 u∈R2 表示图像特征点的二维（2D）像素位置，并令 u ‾ ∈ R 2 \overline{\mathbf{u}} \in \mathbb{R}^2 u∈R2 表示从三维点 P ∈ R 3 \bm{P} \in \mathbb{R}^3 P∈R3 重投影到图像上的2D像素位置，则重投影误差 e v \bm{e}_v ev 为：
其中 ( f x , f y ) (f_x, f_y) (fx,fy) 是相机焦距， ( c x , c y ) (c_x, c_y) (cx,cy)是主点，均从标定过程已知。 Π m ( ⋅ ) \Pi_m(\cdot) Πm(⋅) 是单目相机投影模型。我们假设重投影误差遵循高斯分布：
然后利用协方差对重投影误差进行归一化，得到：
这意味着它遵循二维标准正态分布，因此由其各分量的平方和相加得到的统计量服从自由度为2的卡方分布。
双目相机分析
对于双目配置的情况，我们令观测量为 3 维 ，即由左相机图像的特征点横纵坐标 + 右相机特征点的横坐标组成 （在双目立体相机配置下，左右图像特征点的纵坐标就是相同的）。令 u z ∈ R 3 \mathbf{u}_z \in \mathbb{R}^3 uz∈R3 为双目立体相机的特征点观测量， u ‾ z ∈ R 3 \overline{\mathbf{u}}_z \in \mathbb{R}^3 uz∈R3 表示从三维地图点 P ∈ R 3 \bm{P} \in \mathbb{R}^3 P∈R3 重投影到图像上的像素位置，则重投影误差 e v \bm{e}_v ev 为：
其中 Π s ( ⋅ ) \Pi_s(\cdot) Πs(⋅) 为双目相机投影模型。 ( f x , f y ) (f_x, f_y) (fx,fy) 是相机焦距， ( c x , c y ) (c_x, c_y) (cx,cy)是主点， b b b 是基线长度，均从内参标定中已知。与单目配置情况类似，利用协方差对双目重投影误差进行归一化，其服从三维标准正态分布，因此由其各分量的平方和相加得到的统计量服从自由度为3的卡方分布。