贪心算法(Greedy Algorithm)

贪心算法(Greedy Algorithm)是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优决策的算法思想。它通过局部最优的选择,希望最终达到全局最优解。贪心算法并不总是能得到全局最优解,但在某些问题上非常有效。


1. 贪心算法的核心思想

  • 局部最优:在每一步选择中,选择当前状态下最优的决策。
  • 无后效性:当前的选择不会影响后续的选择。
  • 贪心选择性质:通过局部最优选择,最终能够得到全局最优解。

2. 贪心算法的适用条件

贪心算法适用于满足以下条件的问题:

  1. 最优子结构:问题的最优解包含子问题的最优解。
  2. 贪心选择性质:通过局部最优选择,能够得到全局最优解。

3. 贪心算法的经典问题

1. 找零问题
  • 问题描述:给定不同面额的硬币和一个总金额,求最少需要多少硬币。

  • 贪心策略:每次选择面额最大的硬币。

  • 代码实现

    cpp 复制代码
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        sort(coins.rbegin(), coins.rend());  // 按面额从大到小排序
        int count = 0;
        for (int coin : coins) {
            while (amount >= coin) {
                amount -= coin;
                count++;
            }
        }
        return amount == 0 ? count : -1;  // 如果无法凑出金额,返回 -1
    }
2. 活动选择问题
  • 问题描述:给定一组活动,每个活动有开始时间和结束时间,求最多能安排多少个互不冲突的活动。

  • 贪心策略:每次选择结束时间最早的活动。

  • 代码实现

    cpp 复制代码
    int maxActivities(vector<pair<int, int>>& activities) {
        sort(activities.begin(), activities.end(), [](const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
            return a.second < b.second;  // 按结束时间排序
        });
        int count = 1;
        int last_end = activities[0].second;
        for (int i = 1; i < activities.size(); i++) {
            if (activities[i].first >= last_end) {
                count++;
                last_end = activities[i].second;
            }
        }
        return count;
    }
3. 背包问题(分数背包)
  • 问题描述:给定一组物品,每个物品有重量和价值,背包有容量限制,求能装入的最大价值(物品可以分割)。

  • 贪心策略:每次选择单位重量价值最高的物品。

  • 代码实现

    cpp 复制代码
    double fractionalKnapsack(int capacity, vector<pair<int, int>>& items) {
        sort(items.begin(), items.end(), [](const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
            return (double)a.second / a.first > (double)b.second / b.first;  // 按单位重量价值排序
        });
        double max_value = 0;
        for (auto& item : items) {
            if (capacity >= item.first) {
                capacity -= item.first;
                max_value += item.second;
            } else {
                max_value += (double)item.second / item.first * capacity;
                break;
            }
        }
        return max_value;
    }

4. 贪心算法的局限性

贪心算法并不总是能得到全局最优解。例如:

  • 0-1 背包问题:物品不能分割,贪心算法无法得到最优解。
  • 最短路径问题:Dijkstra 算法是贪心算法,但不适用于负权边。

5. 贪心算法的总结

  • 优点
    • 简单易实现。
    • 时间复杂度通常较低。
  • 缺点
    • 不适用于所有问题。
    • 无法保证全局最优解。
  • 适用场景
    • 问题具有最优子结构和贪心选择性质。
    • 例如:找零问题、活动选择问题、分数背包问题等。

6. 经典例题

  1. LeetCode 455. 分发饼干

    • 贪心策略:每次满足胃口最小的孩子。

    • 代码实现:

      cpp 复制代码
      int findContentChildren(vector<int>& g, vector<int>& s) {
          sort(g.begin(), g.end());
          sort(s.begin(), s.end());
          int i = 0, j = 0;
          while (i < g.size() && j < s.size()) {
              if (s[j] >= g[i]) {
                  i++;
              }
              j++;
          }
          return i;
      }
  2. LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机 II

    • 贪心策略:每次在价格上涨时买入,价格下跌时卖出。

    • 代码实现:

      cpp 复制代码
      int maxProfit(vector<int>& prices) {
          int profit = 0;
          for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
              if (prices[i] > prices[i - 1]) {
                  profit += prices[i] - prices[i - 1];
              }
          }
          return profit;
      }

通过掌握贪心算法的思想和经典问题,可以高效解决许多优化问题。

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