线性模型 - 支持向量机

支持向量机（SVM）是一种用于分类（和回归）的监督学习算法，其主要目标是找到一个最佳决策超平面，将数据点分为不同的类别，并且使得分类边界与最近的数据点之间的间隔（margin）最大化，从而提高模型对新数据的泛化能力。

在学习支持向量机之前，我们需要弄清楚一些数学概念和公式。

一、什么是超平面

超平面是指在 n 维空间中，维度为 n-1 的仿射子空间。换句话说，超平面是一个"平坦"的空间，它比所在空间的维度低1。具体来说：

• 二维空间：超平面是1维的直线。
• 三维空间：超平面是2维的平面。
• n维空间：超平面是 n−1 维的空间。

通常，超平面可以用一个线性方程来表示，例如在 nn 维空间中，一个超平面可以写为：

w^T x + b = 0,

其中 w 是一个 n 维向量（称为法向量），b 是一个偏置项，而 x 是 n 维输入向量。这个方程表示所有满足此关系的点构成的集合，也就是超平面。

超平面在机器学习中非常重要，例如支持向量机（SVM）就是利用超平面将数据分为不同类别。

二、什么是法向量

法向量是一个向量，它与给定平面或超平面中的所有向量都垂直。换句话说，如果我们有一个平面或超平面，那么平面内任意一个向量与该平面的法向量的内积都为零。法向量不仅描述了平面或超平面的方向，还在计算点到平面的距离、确定超平面方程以及各种几何变换中起关键作用。

举例说明：

• 在二维平面中，一个直线可以表示为 ax + by + c = 0。其中，向量 (a, b) 就是这条直线的法向量，因为它与直线上任意两个点构成的向量都垂直。

• 在三维空间中，一个平面的方程可以写成 ax + by + cz + d = 0，此时 (a, b, c) 就是该平面的法向量。

总结来说，法向量为我们提供了描述平面方向的工具，是理解和操作几何对象的重要概念。

三、什么是向量的模

向量的"模"（或称为"范数"）指的是向量的大小或长度。最常用的度量是欧几里得范数，其计算公式为：

• 几何意义 ：

  可以把向量看作从原点指向空间中某个点的箭头，向量的模就是这根箭头的长度。

• 示例 ：

  对于二维向量 v = (3, 4)，其模为

  

  这表示这个向量的长度为5。

四、点到超平面的距离

1. 公式

2. 几何定义

样本 x(n) 到超平面 w^Tx+b=0 的距离，是该点到超平面的最短距离（垂直距离）。

3. 推导过程

步骤 1：任取超平面上一点 x′，满足 w^Tx′+b=0。

五、超平面到超平面的距离

考虑两个平行超平面，其方程分别为

这两个超平面平行，因为它们具有相同的法向量 w。

为了求两个超平面之间的距离，我们可以任选一个在第一个超平面上的点，然后计算它到第二个超平面的距离。

六、现在我们切入本文的主题：支持向量机

支持向量机(Support Vector Machine，SVM)是一个经典的二分类算法， 其找到的分割超平面具有更好的鲁棒性，因此广泛使用在很多任务上，并表现出 了很强优势。

支持向量机（SVM）是一种监督学习算法，主要用于解决分类问题，尤其是二分类问题。其核心思想是通过寻找一个最优的决策边界（在二维空间中就是一条直线，在更高维空间中则是一个超平面），使得正类和负类数据点之间的间隔（margin）最大化。

（一）基本概念

给定一个二分类器数据集 ，

如果两类样本是线性可分的，即存在一个超平面 w^T x + b = 0，

我们定义间隔(Margin)𝛾 为整个数据集 𝐷 中所有样本到分割超平面的最短距离。

如果间隔 𝛾 越大，其分割超平面对两个数据集的划分越稳定，不容易受噪声等因素影响。

支持向量机的目标是寻找一个超平面使得 𝛾 最大。

（二）这里先弄清楚上面提到的一个关键点：两类样本线性可分时，则每个样本满足 y(w^Tx+b)>0

1. 超平面的定义

在二分类问题中，超平面是决策边界，形式为：

w^Tx+b=0

其中：

• w 是超平面的法向量（决定方向）。

• b 是偏置项（决定超平面与原点的距离）。

2. 线性可分性

若两类样本线性可分，则存在一个超平面，使得：

• 正类样本（y=+1）满足 w^Tx+b>0。

• 负类样本（y=−1）满足 w^Tx+b<0。

3. 统一表达

将两类样本的条件合并为：

y(w^Tx+b)>0

• 当 y=+1 时，w^Tx+b>0，乘积为正。

• 当 y=−1 时，w^Tx+b<0，乘积仍为正。

因此，所有样本均满足 y(w^Tx+b)>0。

（三）核心思想与基本概念

• 决策超平面

  在 n 维空间中，一个超平面可以表示为

  w^T x + b = 0,

  其中 w 是超平面的法向量，b 是偏置。支持向量机寻找这样一个超平面，将正负类数据分隔开。

• 最大化间隔
  SVM 不仅要求决策超平面能够分隔两类数据，还要求该超平面与数据中最近的点之间的距离（称为"间隔"）尽可能大。直观上，间隔越大，模型对噪声和数据变化的容忍度就越高，泛化能力也就越强。

  结合前面的点到超平面的距离公式，对于线性可分的情况，间隔可以证明是： ​，因此最大化间隔等价于最小化 。

对于一个线性可分的数据集，其分割超平面有很多个，但是间隔最大的超平面是唯一的，下面放一张图辅助理解：

• 支持向量

  那些位于决策边界附近的训练样本被称为"支持向量"。这些点决定了决策超平面的最终位置和方向。换句话说，只要知道支持向量的信息，就可以确定最优的超平面。

• 非线性扩展

  当数据在原始空间中线性不可分时，SVM 可以使用"核技巧"（Kernel Trick）将数据映射到一个高维空间，在高维空间中数据可能变得线性可分，再在高维空间中找到最佳决策超平面。常见的核函数包括径向基函数（RBF）、多项式核等。

（四）间隔的推导过程如下：

• 点到超平面的距离公式

对于任意点 x_0​ 到超平面的距离公式是：

• 计算支持向量到决策边界的距离

• 两个边界超平面之间的间隔

两个边界超平面之间的距离就是这两个距离的和，即：

（五）优化目标

因此，SVM 的目标是求解如下的优化问题：

约束条件为：

这里注意思考：为什么优化目标是 ？

**** 关于支持向量机参数的学习，鉴于篇幅，下一篇博文再做介绍。

（六）相关概念

1.线性可分 vs 非线性可分

• 线性可分：存在一个超平面完美分隔两类数据（如二维平面上的直线）。

• 非线性可分：需通过 核技巧（Kernel Trick）将数据映射到高维空间，使其线性可分。

2. 核函数（Kernel Function）

• 作用：隐式计算高维空间的内积，避免显式映射。

• 常见核函数：

  

3. 软间隔（Soft Margin）

（七）SVM的优缺点

优点	缺点
高维数据有效（核技巧）	计算复杂度高（大规模数据不适用）
泛化能力强（间隔最大化）	需要谨慎调参（如CC、γγ）
支持线性和非线性分类	多分类需额外策略（OvR/OvO）

（八）代码示例

from sklearn import svm
from sklearn.datasets import make_classification
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成线性可分数据
X, y = make_classification(n_features=2, n_redundant=0, n_informative=2, random_state=42)

# 训练SVM
model = svm.SVC(kernel='linear', C=1.0)
model.fit(X, y)

# 可视化决策边界
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap='bwr')
ax = plt.gca()
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()

# 生成网格点
xx = np.linspace(xlim[0], xlim[1], 30)
yy = np.linspace(ylim[0], ylim[1], 30)
YY, XX = np.meshgrid(yy, xx)
xy = np.vstack([XX.ravel(), YY.ravel()]).T
Z = model.decision_function(xy).reshape(XX.shape)

# 绘制超平面和间隔
ax.contour(XX, YY, Z, colors='k', levels=[-1, 0, 1], linestyles=['--', '-', '--'])
ax.scatter(model.support_vectors_[:,0], model.support_vectors_[:,1], s=100, facecolors='none', edgecolors='k')
plt.show()