7.1 线性代数进行图像处理

一、图像的奇异值分解介绍

A A A 的奇异值定理就是 A T A A^TA ATA 和 A A T AA^T AAT 的特征值定理。 这是本章的内容的预览。 A A A 有两个奇异向量的集合（ A T A A^TA ATA 和 A A T AA^T AAT 的特征向量），有一个是正奇异值的集合（因为 A T A A^TA ATA 和 A A T AA^T AAT 有相同的正特征值）。通常 A A A 是长方形的矩阵，但是 A T A A^TA ATA 和 A A T AA^T AAT 是方阵，对称的且至少是半正定的。
奇异值分解（The Singular Value Decomposition：SVD）可以将任意的矩阵分解成简单的片（pieces）。 每个片都是一个列向量乘一个行向量，一个 m × n m\times n m×n 的矩阵有 m × n m\times n m×n 个元素（如果表示的是一个图像则会是很大的数字），但是列和行仅有 m + n m+n m+n 个分量，远少于 m × n m\times n m×n 。这些列乘行 (colum)(row) 的小片是可以非常快速处理的全尺寸大小矩阵（full size matrices）------ 它们仅需要 m + n m+n m+n 个数。

不寻常的是，SVD 的图像处理应用是在它所依赖的代数矩阵之前出现的，下面会从只包含一个或两个片的简单图像开始。现在我们将图像想象成一个大的长方形矩阵，元素 a i j a_{ij} aij 表示的是图像所有像素的灰度值，可以将像素想象成一个小的正方形，从左下角开始向右 i i i 步和向上 j j j 步，它的灰度值是一个数字（通常的范围是 0 ≤ a i j ≤ 256 = 2 8 0\le a_{ij}\le256=2^8 0≤aij≤256=28），一个纯白的像素是 a i j = 255 = 11111111 a_{ij}=255=11111111 aij=255=11111111，计算机将 255 255 255 用二进制表示时，这个数字就是 8 8 8 个 1 1 1。

目前我们已经知道一个图像有 m × n m\times n m×n 个像素，每个像素使用 8 8 8 位（ 0 0 0 或 1 1 1）表示它的灰度，变成了一个 m × n m\times n m×n 的矩阵，其中的每个元素都有 256 256 256 种的可能值。

简单的说，一个图像就是一个大的矩阵，为了完美复制它，我们需要 8 ( m ) ( n ) 8(m)(n) 8(m)(n) 比特的信息。高分辨率的电视通常是 m = 1080 m=1080 m=1080 且 n = 1920 n=1920 n=1920，每秒有 24 24 24 帧，如果是彩色的，会有 3 3 3 个颜色度，那么需要每秒传输 ( 3 ) ( 8 ) ( 24 ) ( 1920 ) ( 1080 ) (3)(8)(24)(1920)(1080) (3)(8)(24)(1920)(1080) 位，这个成本太高了所以也不太会这么做，发射器跟不上要显示的速度。

如果压缩做的很好的话，那么我们是无法看出和原始图像的区别的。图像的边缘（灰度的突然变化）是很难压缩的部分。

如果每个 a i j a_{ij} aij 都是独立的随机数字，那么就不可能在压缩方面取得大的成果。我们完全依赖这样的一个事实：相邻的像素通常由相似的灰度，当跨越边缘时就会出现突然的跳变。卡通图片要比现实图片更容易压缩，这是因为它到处都是边缘。

对于视频来说，数字 a i j a_{ij} aij 不会在帧与帧之间变化太大，我们只传输小的变化 。这就是 H.264 视频压缩标准的差分编码。我们使用线性代数（和非线性的 "量化quantization"，这是计算机中高效的转换成正数的一步）压缩每个变化矩阵。

我们每天看到的自然图像完全适合且可以进行压缩处理。

二、低秩图像（例子）

最容易压缩的图像是全黑或全白或全是一个常数灰度 g g g，矩阵 A A A 的每个元素的数都是同样的 g g g： a i j = g a_{ij}=g aij=g，当 g = 1 g=1 g=1 且 m = n = 6 m=n=6 m=n=6 时，下面是图像处理中关于 SVD 核心理论的一个极端的例子：

【例1 】 不是发送   A = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 而是发送   A = [ 1 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1 1 ] \pmb{不是发送}\,A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1\end{bmatrix}\kern 5pt\pmb{而是发送}\,A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\end{bmatrix} 不是发送A= 111111111111111111111111111111111111 而是发送A= 111111 [111111] 36 36 36 个数字变成了 12 12 12 个数字，如果是 300 × 300 300\times300 300×300 个像素，那么就是 90000 90000 90000 个数变成 600 600 600 个数。如果我们提前定义好全一向量 x \boldsymbol x x，我们只需要发送一个数字 ，这个数字就是常数灰度 g g g，它乘上 x x T \boldsymbol x\boldsymbol x^T xxT 得到这个矩阵。

当然第一个例子很极端，但它阐明了一个重要观点，如果能够预先定义一些特殊的向量如全一向量 x = ones \boldsymbol x=\textrm{\pmb{ones}} x=ones，那么图像处理将会变得非常高效，本质上是预选基（preselected bases） （如傅里叶基通过 FFT 进行加速）和自适应基（adaptive bases） 之间的较量。SVD 通过图像本身生成基 ------ 这个是自适应的，它的计算成本可能比较高。

并不是说 SVD 总是或者通常在实际上是最有效的算法，下面这些例子的目的只是为了介绍而不是实际生产使用。

【例2 】 " ace    三色旗 " 法国国旗    A 意大利国旗   A 德国国旗    A T 不要发送   A = [ a a c c e e a a c c e e a a c c e e a a c c e e a a c c e e a a c c e e ] 发送   A = [ 1 1 1 1 1 1 ] [ a a c c e e ] \begin{array}{l}"\pmb{\textrm{ace}\,\,三色旗}"\\法国国旗\,\,A\\意大利国旗\,A\\德国国旗\,\,A^T\end{array}\kern 5pt\pmb{不要发送}\,A=\begin{bmatrix}a&a&c&c&e&e\\a&a&c&c&e&e\\a&a&c&c&e&e\\a&a&c&c&e&e\\a&a&c&c&e&e\\a&a&c&c&e&e\end{bmatrix}\kern 5pt\pmb{发送}\,A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&a&c&c&e&e\end{bmatrix} "ace三色旗"法国国旗A意大利国旗A德国国旗AT不要发送A= aaaaaaaaaaaacccccccccccceeeeeeeeeeee 发送A= 111111 [aaccee]这个虽说有 3 3 3 种颜色，但是它的秩仍然是 1 1 1，我们仍然可以用一列乘上一行。这 36 36 36 个元素甚至可能都不相同，但是只要是秩一的模式 A = u 1 v 1 T A=\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T A=u1v1T 都可以压缩。但是如果秩提升至 r = 2 r=2 r=2，就需要 u 1 v 1 T + u 2 v 2 T \boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T+\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^T u1v1T+u2v2T，例如：

【例3 】内嵌的方块矩阵 A = [ 1 0 1 1 ] \boxed{A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}} A=[1101] 等于 A = [ 1 1 ] [ 1 1 ] − [ 1 0 ] [ 0 1 ] \boxed{A=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}} A=[11][11]−[10][01]

这里矩阵 A A A 中的 1 1 1 和 0 0 0 可以为块状的 1 ′ s 1's 1′s 和 0 ′ s 0's 0′s，它的秩仍为 2 2 2，我们同样只需要两项 u 1 v 1 T + u 2 v 2 T \boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T+\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^T u1v1T+u2v2T。一个 6 × 6 6\times6 6×6 的图像可以被压缩成 24 24 24 个数字，一个 N × N N\times N N×N 的图像（ N 2 N^2 N2 个数字）能够压缩成来自向量 u 1 , v 1 , u 2 , v 2 \boldsymbol u_1,\boldsymbol v_1,\boldsymbol u_2,\boldsymbol v_2 u1,v1,u2,v2 这四个向量的 4 N 4N 4N 个数字。

这里 u ′ s \boldsymbol u's u′s 和 v ′ s \boldsymbol v's v′s 是最佳的选择吗？这个并不是 SVD 的选择！注意到 u 1 = ( 1 , 1 ) \boldsymbol u_1=(1,1) u1=(1,1) 和 u 2 = ( 1 , 0 ) \boldsymbol u_2=(1,0) u2=(1,0) 并不是正交的， v 1 = ( 1 , 1 ) \boldsymbol v_1=(1,1) v1=(1,1) 和 v 2 = ( 0 , 1 ) \boldsymbol v_2=(0,1) v2=(0,1) 也不正交。理论表明：正交性能够使得第二项 c 2 u 2 v 2 T c_2\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^T c2u2v2T 更小。（SVD 按照重要性的顺序选择秩一项 。）

如果 A A A 的秩远大于 2 2 2，就比如实际图像，那么 A A A 就会是很多秩一项相加，我们希望最小的项足够小 ------ 它们可以被丢弃而不会影响视觉的质量，这时图像压缩就变为有损的了，但是好的图像压缩人的视觉几乎是无法察觉的。

问题变成了：SVD 的正交基要如何选择？

三、SVD 的特征向量

大部分图像的特征向量并不正交，而且特征向量 x 1 , x 2 \boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2 x1,x2 只提供一组向量，我们想要两组向量（ u ′ s \boldsymbol u's u′s 和 v ′ s \boldsymbol v's v′s）。这两个问题的解决方法正是 SVD 的思想：
使用 A A T AA^T AAT 的特征向量 u \boldsymbol u u 和 A T A A^TA ATA 的特征向量 v \boldsymbol v v。

因为 A A T AA^T AAT 和 A T A A^TA ATA 自动就是对称的（通常并不相等！），所以特征向量 u ′ s \boldsymbol u's u′s 是一组正交向量，特征向量 v ′ s \boldsymbol v's v′s 是另一组正交向量，我们可以并且需要将它们单位化： ∣ ∣ u i ∣ ∣ = 1 ||\boldsymbol u_i||=1 ∣∣ui∣∣=1 和 ∣ ∣ v i ∣ ∣ = 1 ||\boldsymbol v_i||=1 ∣∣vi∣∣=1，这样我们的秩 2 2 2 矩阵就是 A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T A=\sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T+\sigma_2\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^T A=σ1u1v1T+σ2u2v2T。其中 σ 1 \sigma_1 σ1 和 σ 2 \sigma_2 σ2 这些数字的大小将决定它们在压缩过程中是否可以被忽略。我们保留大的 σ ′ s \sigma's σ′s，丢弃小的 σ ′ s \sigma's σ′s。

SVD 中的 u ′ s \boldsymbol u's u′s 称为左奇异值向量（left singular vectors） ，它们是 A A T AA^T AAT 的单位特征向量； v ′ s \boldsymbol v's v′s 称为右奇异值向量（right singular vectors） ，它们是 A T A A^TA ATA 的单位特征向量。其中 σ ′ s \sigma's σ′s 就是奇异值（singular values） ，等于 A A T AA^T AAT 和 A T A A^TA ATA 特征值的平方根：

SVD 的选择 A A T u i = σ i 2 u i A T A v i = σ i 2 v i A v i = σ i u i ( 7.1.1 ) {\color{blue}AA^T\boldsymbol u_i=\sigma_i^2\boldsymbol u_i\kern 10ptA^TA\boldsymbol v_i=\sigma_i^2\boldsymbol v_i\kern 10ptA\boldsymbol v_i=\sigma_i\boldsymbol u_i}\kern 45pt(7.1.1) AATui=σi2uiATAvi=σi2viAvi=σiui(7.1.1)

在例 3 中（嵌入的方块矩阵），下面是对称矩阵 A A T AA^T AAT 和 A T A A^TA ATA： A A T = [ 1 0 1 1 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 1 1 1 2 ] A T A = [ 1 1 0 1 ] [ 1 0 1 1 ] = [ 2 1 1 1 ] AA^T=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb1&\pmb1\\\pmb1&\pmb2\end{bmatrix}\kern 20ptA^TA=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb2&\pmb1\\\pmb1&\pmb1\end{bmatrix} AAT=[1101][1011]=[1112]ATA=[1011][1101]=[2111]它们的特征值都是 1 1 1，所以 λ 1 λ 2 = 1 \lambda_1\lambda_2=1 λ1λ2=1，它们的迹（对角元素之和）都是 3 3 3： det ⁡ [ 1 − λ 1 1 2 − λ ] = λ 2 − 3 λ + 1 = 0 得到 λ 1 = 3 + 5 2 和 λ 2 = 3 − 5 2 \det\begin{bmatrix}1-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{bmatrix}=\lambda^2-3\lambda+1=0\kern 5pt得到\kern 5pt\lambda_1=\frac{3+\sqrt5}{2}\kern 5pt和\kern 5pt\lambda_2=\frac{3-\sqrt5}{2} det[1−λ112−λ]=λ2−3λ+1=0得到λ1=23+5 和λ2=23−5 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 的平方根是 σ 1 = 5 + 1 2 \sigma_1=\displaystyle\frac{\sqrt5+1}{2} σ1=25 +1 和 σ 2 = 5 − 1 2 \sigma_2=\displaystyle\frac{\sqrt5-1}{2} σ2=25 −1 且 σ 1 σ 2 = 1 \sigma_1\sigma_2=1 σ1σ2=1。最接近 A A A 的秩一矩阵是 σ 1 u 1 v 1 T \sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T σ1u1v1T，误差仅为 σ 2 ≈ 0.6 \sigma_2\approx0.6 σ2≈0.6，这个是理论最小值。
A A T AA^T AAT 和 A T A A^TA ATA 标准正交特征向量是 u 1 = [ 1 σ 1 ] u 2 = [ σ 1 − 1 ] v 1 = [ σ 1 1 ] v 2 = [ 1 − σ 1 ] 全部除以 1 + σ 1 2 ( 7.1.2 ) \boldsymbol u_1=\begin{bmatrix}1\\\sigma_1\end{bmatrix}\kern 10pt\boldsymbol u_2=\begin{bmatrix}\sigma_1\\-1\end{bmatrix}\kern 10pt\boldsymbol v_1=\begin{bmatrix}\sigma_1\\1\end{bmatrix}\kern 10pt\boldsymbol v_2=\begin{bmatrix}1\\-\sigma_1\end{bmatrix}\kern 10pt全部除以\kern 3pt\sqrt{1+\sigma_1^2}\kern 20pt(7.1.2) u1=[1σ1]u2=[σ1−1]v1=[σ11]v2=[1−σ1]全部除以1+σ12 (7.1.2)实际生活中这些计算都是由计算机完成的！（MATLAB 中可以使用 svd(A) 进行奇异值分解。）我们可验证一下 σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T \sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^T+\sigma_2\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^T σ1u1v1T+σ2u2v2T 是否可以正确的重构矩阵 A A A：

A = [ u 1 u 2 ] [ σ 1 σ 2 ] [ v 1 T v 2 T ] \boxed{A=\begin{bmatrix}\boldsymbol u_1&\boldsymbol u_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_1&\\&\sigma_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol v_1^T\\\boldsymbol v_2^T\end{bmatrix}} A=[u1u2][σ1σ2][v1Tv2T] 或更简单的 A [ v 1 v 2 ] = [ σ 1 u 1 σ 2 u 2 ] ) ( 7.1.3 ) \boxed{A\begin{bmatrix}\boldsymbol v_1&\boldsymbol v_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_1\boldsymbol u_1&\sigma_2\boldsymbol u_2\end{bmatrix})}\kern 30pt(7.1.3) A[v1v2]=[σ1u1σ2u2])(7.1.3)

重点：关键点是图像并不都是趋于低秩，大部分图像都是满秩的，但是它们有低有效秩（low effective rank）。这意味着：很多奇异值都很小，它们可以设置成零，我们传输的是一个低秩的近似。

【例4 】假设旗帜是两种不同颜色的三角形，左下角的三角形都是 1 1 1，右上角的三角形都是 0 0 0，主对角线都是 1 1 1。下面是当 n = 4 n=4 n=4 时的图像矩阵，它是满秩的 r = 4 r=4 r=4，所以它可逆： 三角形 旗帜矩阵 A = [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ] 和 A − 1 = [ 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 ] \begin{array}{l}\pmb{三角形}\\\pmb{旗帜矩阵}\end{array}\kern 10ptA=\begin{bmatrix}\pmb1&0&0&0\\\pmb1&\pmb1&0&0\\\pmb1&\pmb1&\pmb1&0\\\pmb1&\pmb1&\pmb1&\pmb1\end{bmatrix}\kern 5pt和\kern 5ptA^{-1}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&\kern 7pt0&\kern 7pt0&0\\-1&\kern 7pt1&\kern 7pt0&0\\\kern 7pt0&-1&\kern 7pt1&0\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1&1\end{bmatrix} 三角形旗帜矩阵A= 1111011100110001 和A−1= 1−10001−10001−10001 由于矩阵满秩，所以 A A A 有一组 n n n 个奇异值 σ \sigma σ（都是正数），SVD 会产生 n n n 个秩一项 σ i u i v i T \sigma_i\boldsymbol u_i\boldsymbol v_i^T σiuiviT，完美的重构需要全部的 n n n 项。

在压缩过程中小的 σ \sigma σ 可以被丢弃，它们不会明显影响图片的质量。我们要理解并画出当 n = 4 n=4 n=4 时的这些 σ \sigma σ 以及更大的 n n n。注意例 3 是例 4 这个三角形矩阵当 n = 2 n=2 n=2 时的特例。

下面我们手动计算，从 A A T AA^T AAT 开始（计算机处理会不同）： A A T = [ 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 ] 和 ( A A T ) − 1 = ( A − 1 ) T A − 1 = [ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 1 ] ( 7.1.4 ) AA^T=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\end{bmatrix}\kern 10pt和\kern 10pt(AA^T)^{-1}=(A^{-1})^TA^{-1}=\begin{bmatrix}\kern 7pt\pmb2&-1&\kern 7pt0&\kern 7pt0\\-1&\kern 7pt\pmb2&-1&\kern 7pt0\\\kern 7pt0&-1&\kern 7pt\pmb2&-1\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1&\kern 7pt\pmb1\end{bmatrix}\kern 15pt(7.1.4) AAT= 1111122212331234 和(AAT)−1=(A−1)TA−1= 2−100−12−100−12−100−11 (7.1.4)这个 − 1 , 2 , − 1 -1,2,-1 −1,2,−1 的逆矩阵被引进是因为它的特征值的形式是 2 − 2 cos ⁡ θ 2-2\cos\theta 2−2cosθ，所以我们可以得到 A A T AA^T AAT 的 λ ′ s \lambda's λ′s 和 A A A 的 σ ′ s \sigma's σ′s： λ = 1 2 − 2 cos ⁡ θ = 1 4 sin ⁡ 2 ( θ / 2 ) 得到 σ = λ = 1 2 sin ⁡ ( θ / 2 ) ( 7.1.5 ) \lambda=\frac{1}{2-2\cos\theta}=\frac{1}{4\sin^2(\theta/2)}\kern 10pt得到\kern 10pt\sigma=\sqrt\lambda=\frac{1}{2\sin(\theta/2)}\kern 25pt(7.1.5) λ=2−2cosθ1=4sin2(θ/2)1得到σ=λ =2sin(θ/2)1(7.1.5) n n n 个不同的角度 θ \theta θ 是 0 0 0 ~ π π π 之间等距离的，注意这个三对角矩阵最后一个元素是 1 1 1 而不是 2 2 2，此时等距的点有 2 n 2n 2n 个，若为 2 2 2 时等距点有 n n n 个，这个例子非常特殊： θ = π 2 n + 1 , 3 π 2 n + 1 , ⋯   , ( 2 n − 1 ) π 2 n + 1 ( n = 4   时包括   θ = 3 π 9 ，此时   2 sin ⁡ θ 2 = 1 ) \theta=\frac{π}{2n+1},\frac{3π}{2n+1},\cdots,\frac{(2n-1)π}{2n+1}\kern 10pt\Big(n=4\,时包括\,\theta=\frac{3π}{9}，此时\,2\sin\frac{\theta}{2}=1\Big) θ=2n+1π,2n+13π,⋯,2n+1(2n−1)π(n=4时包括θ=93π，此时2sin2θ=1)这个特殊案例得到了当 n = 4 n=4 n=4 时 A A T AA^T AAT 的一个特征值 λ = 1 \lambda=1 λ=1，所以 σ = λ = 1 \sigma=\sqrt\lambda=1 σ=λ =1 时 A A A 的一个奇异值，当向量 u = ( 1 , 1 , 0 , − 1 ) \boldsymbol u=(1,1,0,-1) u=(1,1,0,−1) 时，有 A A T u = u AA^T\boldsymbol u=\boldsymbol u AATu=u，这是一个真正的特例。

重点是画出 A A A 的 n n n 个奇异值的图形，这些数字是逐渐减小的（不像 A A A 的特征值，都是 1 1 1），但是减小的不是很陡峭。所以 SVD 只是适度的压缩这个三角形旗帜。对于希尔伯特矩阵压缩效果非常好。

四、例题

【例5 】MATLAB 指令 A = rand(20, 40) 和 B = randn(20, 40) 会生成 20×40 的随机矩阵： A A A 中的元素是 0 0 0 到 1 1 1 之间均匀分布的；B 中的元素是 "钟形" 正态分布。使用 MATLAB 中的 svd 命令，画出奇异值 σ 1 σ_1 σ1到 σ 20 σ_{20} σ20。
解： MATLAB 代码如下：

% 生成矩阵并计算奇异值
A = rand(20, 40);
s = svd(A);

% 绘制半对数坐标图
figure;
semilogy(s, '-o', 'LineWidth', 1.5, 'MarkerSize', 6); % 这个函数是绘制半对数坐标的函数，横轴是线性，纵轴是对数；
													  %-o 是圆圈标记；MarkerSize 是这个圆圈标记的大小
xlabel('序号 (k)');
ylabel('\sigma_k (对数刻度)');
title('A=rand(20,40)的奇异值分布');
axis tight;											  % 自动调整坐标轴范围，使数据内容紧密贴合坐标轴边界
grid on;

% 生成20×40的随机矩阵（元素服从标准正态分布）
B = randn(20, 40);

% 计算奇异值分解（Singular Value Decomposition）
[U, S, V] = svd(B);

% 提取奇异值（S矩阵的对角线元素）
singular_values = diag(S);

% 绘制奇异值分布图（对数坐标系）
figure;
semilogy(singular_values, 'bo-', 'LineWidth', 1.5);	% bo 表示蓝色的圆圈，- 代表实线
grid on;
xlabel('序号 (k)');
ylabel('\sigma_k（对数刻度）');
title('B=randn(20,40)的奇异值分布');
axis tight;

运行结果如下：