《机器学习数学基础》第 6 章介绍了数理统计，其主要内容如下：
就统计学而言，除了上述内容之外，平时还会用到一些描述性统计的知识。为此，本文补充一些描述性统计的基本知识。
用样本估计总体分布 [ 1 ] ^{[1]} [1]
频率分布表
先将数据从小到大排列，然后将排列后的数据分段，每段中的数据被称为一组，故分段也称为分组。
设样本量 n n n ，分组经验公式： K = 1 + 4 lg ( n ) K=1+4\lg{(n)} K=1+4lg(n) ，分成 K K K 组。
然后计算每组的发生次数和发生频率。
频率分布直方图
直方图在1895年由英国统计学家皮尔逊首先使用。
计算数据落入各组的频率 f i f_i fi ，将隔断的端点在直角坐标系横轴标出，用 g i = f i 本段区间长度 g_i=\frac{f_i}{本段区间长度} gi=本段区间长度fi 作为纵坐标的高度，就得到了由相连接长方形构成的图像，即频率分布直方图，简称直方图（histogram）。
利用matplotlib等Python中的数据可视化库，能够绘制直方图，请参阅《跟老齐学Python：数据分析》
频率折线图
用 d 1 , ⋯ , d k d_1, \cdots, d_k d1,⋯,dk 表示频率分布直方图中各矩形上边的中点，在直方图的左边延长出一个分段，其重点用 d 0 d_0 d0 表示；在右边延长出一个分段，其重点用 d k + 1 d_{k+1} dk+1 表示。将 d 0 , d 1 , ⋯ , d k , d k + 1 d_0,d_1,\cdots,d_k,d_{k+1} d0,d1,⋯,dk,dk+1 用折线链接，得到了频率折线图。频率折线图也反映出数据频率的分布规律。
说明： 在经典统计学中，由于统计手段的限制，统计图的数量有限。如果使用 matplotlib、seaborn等 Python 语言的库，可以绘制出更多的统计图 [ 2 ] ^{[2]} [2]。
众数和中位数
众数和中位数，是两个代表数据特征的统计量。
众数
观测数据中出现次数最多的数是众数 （mode），用 M 0 M_0 M0 表示。
如果观测数据中每个数出现的次数都相同，则无众数；若有两个或以上的数出现次数相同，且超过其他数的出现次数，则这几个数都是众数。
众数受数据中极大或极小值的变化影响较小，出现的频率最高。
在统计学中，将数据中最大值和最小值的差，称为级差。
python
a = np.array([[6, 8, 3, 0],
[3, 2, 1, 7],
[8, 1, 8, 4],
[5, 3, 0, 5],
[4, 7, 5, 9]])
# 统计数据中的众数
from scipy import stats
stats.mode(a)
# 输出
ModeResult(mode=array([[3, 1, 0, 0]]), count=array([[1, 1, 1, 1]]))中位数
设观测数据已经从小到大排列为 x 1 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n x_1\le x_2\le\cdots\le x_n x1≤x2≤⋯≤xn :
-
样本量 n n n 为奇数，称中间的数据是中位数 （median），记作 M d M_d Md 。
M d = x m , m = n + 1 2 M_d=x_m, ~m=\frac{n+1}{2} Md=xm, m=2n+1
-
样本量 n n n 为偶数，称中间两个数据的平均值是中位数：
M d = x m + x m + 1 2 , m = n 2 M_d=\frac{x_m+x_{m+1}}{2}, m=\frac{n}{2} Md=2xm+xm+1,m=2n
python
a = np.array([[10, 7, 4], [3, 2, 1]])
a
# 输出
array([[10, 7, 4],
[ 3, 2, 1]])
# 计算全部数据的中位数
np.median(a)
# 输出
3.5
# 计算0轴方向的中位数
np.median(a, axis=0)
# 输出
array([6.5, 4.5, 2.5])
# 计算1周方向的中位数
np.median(a, axis=1)
# 输出
array([7., 2.])此外，在Pandas中提供了DataFrame对象的方法describe()，能够得到数据的常用统计量，详情参阅参考文献[2]。
参考文献
[1]. 何书元. 数理统计[M]. 北京：高等教育出版社. 2012.1，第1版
[2]. 齐伟. 跟老齐学Python：数据分析[M]. 北京：电子工业出版社.