MATLAB—从入门到精通的第三天

在第三天，我们将深入探索 MATLAB 的 矩阵操作 、数组 和 字符串处理，并通过大量示例代码帮助读者掌握核心功能。

1. 等差元素向量

1.1 使用冒号运算符 :

冒号运算符 : 用于生成等间距的行向量，语法为 start:step:end。

示例 1：默认步长（步长=1）

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v = 1:5;    % 生成向量 [1, 2, 3, 4, 5]
disp(v);    % 输出：1 2 3 4 5

示例 2：指定步长

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v = 0:0.5:2;    % 生成向量 [0, 0.5, 1, 1.5, 2]
disp(v);         % 输出：0 0.5 1 1.5 2

示例 3：反向生成

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v = 5:-1:1;     % 生成向量 [5, 4, 3, 2, 1]
disp(v);        % 输出：5 4 3 2 1

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1.2 使用 linspace 函数

linspace(start, end, n) 生成包含 n 个元素的等分向量。

示例

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v = linspace(0, 1, 5);   % 生成 [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]
disp(v);                 % 输出：0 0.25 0.5 0.75 1

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2. MATLAB 矩阵

2.1 矩阵的创建

矩阵是二维数组，通过方括号 [] 定义，分号 ; 分隔行。

示例

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A = [1 2 3; 
     4 5 6; 
     7 8 9];    % 3x3 矩阵
disp(A);
% 输出：
% 1 2 3
% 4 5 6
% 7 8 9

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2.2 矩阵的加法和减法

矩阵维度必须一致，运算符为 + 和 -。

示例

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A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];
C = A + B;      % 输出：[6 8; 10 12]
D = B - A;      % 输出：[4 4; 4 4]

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2.3 矩阵除法

• 左除 \ ：求解线性方程组，如 A \ B 等效于 inv(A) * B。

• 右除 / ：A / B 等效于 A * inv(B)。

示例：解方程组

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A = [3 2; 1 4];
B = [8; 7];
X = A \ B;      % 解 AX = B，输出：X = [2; 1]
disp(X);

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2.4 矩阵标量操作

标量与矩阵的每个元素进行运算。

示例

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A = [1 2; 3 4];
B = A + 10;     % 输出：[11 12; 13 14]
C = A * 2;      % 输出：[2 4; 6 8]
D = A / 2;      % 输出：[0.5 1; 1.5 2]

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2.5 矩阵的转置

使用单引号 ' 实现转置（共轭转置），transpose() 实现非共轭转置。

示例

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A = [1+2i 3; 4 5];
B = A';         % 共轭转置 → [1-2i 4; 3 5]
C = transpose(A); % 非共轭转置 → [1+2i 4; 3 5]

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2.6 矩阵的串联

通过方括号 [] 或 cat() 函数水平或垂直拼接矩阵。

水平串联

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A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];
C = [A B];      % 输出：[1 2 5 6; 3 4 7 8]
D = cat(2, A, B); % 等效于水平拼接

垂直串联

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E = [A; B];     % 输出：[1 2; 3 4; 5 6; 7 8]
F = cat(1, A, B); % 等效于垂直拼接

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2.7 矩阵乘法

• 矩阵乘法 *：行乘列规则。

• 元素乘法 .*：对应元素相乘。

示例

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A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];
C = A * B;      % 矩阵乘法 → [19 22; 43 50]
D = A .* B;     % 元素乘法 → [5 12; 21 32]

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2.8 矩阵的行列式

使用 det() 函数计算方阵的行列式。

示例

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A = [1 2; 3 4];
d = det(A);     % 输出：1*4 - 2*3 = -2
disp(d);        % 输出：-2

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2.9 逆矩阵

使用 inv() 函数求逆矩阵，矩阵需为非奇异（行列式不为零）。

示例

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A = [1 2; 3 4];
A_inv = inv(A); % 逆矩阵 → [-2 1; 1.5 -0.5]
disp(A_inv);
% 验证：A * A_inv = 单位矩阵
disp(A * A_inv); % 输出近似 [1 0; 0 1]

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3. MATLAB 数组

3.1 数组与矩阵的区别

数组是广义的多维数据结构，运算符（如 .*、./）为元素级操作。

示例

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A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];
C = A .* B;     % 元素乘法 → [5 12; 21 32]

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3.2 冒号符号 : 的应用

用于索引和生成子矩阵。

示例

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A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
sub1 = A(2, :);     % 第2行 → [4 5 6]
sub2 = A(:, 1:2);   % 前两列 → [1 2; 4 5; 7 8]

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4. MATLAB 数字

4.1 数值类型

类型	示例	说明
double	3.14	双精度浮点数（默认）
single	single(3.14)	单精度浮点数
int8	int8(100)	8位有符号整数
uint8	uint8(200)	8位无符号整数

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4.2 特殊数值

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a = Inf;        % 正无穷大
b = NaN;        % 非数字（如 0/0）
c = pi;         % 圆周率 π

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5. MATLAB 字符串

5.1 字符串创建

使用单引号 ' 或双引号 "（R2016b+）。

示例

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str1 = 'Hello, MATLAB!';
str2 = "Hello, World!";
disp(str1);     % 输出：Hello, MATLAB!

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5.2 字符串操作

拼接字符串

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s1 = 'Hello';
s2 = 'MATLAB';
combined = [s1 ', ' s2 '!'];   % 输出：Hello, MATLAB!

字符串函数

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str = 'MATLAB';
len = length(str);          % 长度 → 6
sub = str(1:3);             % 子串 → 'MAT'
upper_str = upper(str);     % 大写 → 'MATLAB'

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5.3 字符串比较

使用 strcmp() 或 ==（仅适用于相同长度的字符串数组）。

示例

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str1 = 'apple';
str2 = 'apple';
str3 = 'banana';

result1 = strcmp(str1, str2);   % 输出：1（true）
result2 = (str1 == str3);       % 输出：0（false）

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6. 总结与练习

6.1 核心知识点

主题	关键内容
矩阵操作	加减、转置、乘法、行列式、逆矩阵
数组与矩阵区别	元素级操作与矩阵运算
字符串处理	拼接、函数应用与比较

6.2 练习题目

1. 矩阵操作

   创建矩阵 A = [2 4; 6 8]，计算其逆矩阵并验证 A * inv(A) ≈ I。

2. 字符串处理

   将字符串 'MATLAB' 转换为大写，并提取子串 'LAB'。

3. 数组运算

   生成两个 3x3 随机矩阵，计算它们的元素级乘积。

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7. 下一步学习建议

1. 矩阵分解：学习 LU 分解、QR 分解等高级矩阵操作。

2. 高级字符串处理：探索正则表达式和文本文件读写。

3. 性能优化：使用预分配和向量化提升代码效率。

通过不断实践，你将逐步掌握 MATLAB 在科学计算和工程分析中的强大能力！