文章目录
- [一、 三种变换的定义](#一、 三种变换的定义)
-
- [1. 连续时间信号的傅里叶变换（FT）](#1. 连续时间信号的傅里叶变换（FT）)
- [2. 连续时间信号的拉普拉斯变换（LT）](#2. 连续时间信号的拉普拉斯变换（LT）)
- [3. 离散时间信号的Z变换（ZT）](#3. 离散时间信号的Z变换（ZT）)
- [二、 三种变换的关系](#二、 三种变换的关系)
-
- [1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系](#1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系)
- [2. 傅里叶变换与 Z 变换的关系](#2. 傅里叶变换与 Z 变换的关系)
- [3. 拉普拉斯变换与 Z 变换的关系](#3. 拉普拉斯变换与 Z 变换的关系)
- [三、 核心关系总结表](#三、 核心关系总结表)
一、 三种变换的定义
1. 连续时间信号的傅里叶变换（FT）
针对绝对可积的连续时间信号 f ( t ) f(t) f(t)，傅里叶变换建立了时域与频域的直接映射，核心是将信号分解为不同频率的正弦 / 余弦分量的叠加。
- 正变换
F ( j ω ) = F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt F(jω)=F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
其中， ω \omega ω为角频率 （单位： rad/s \text{rad/s} rad/s）， F ( j ω ) F(j\omega) F(jω) 是 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换，表征信号在不同频率下的幅度和相位分布。 - 逆变换
f ( t ) = F − 1 [ F ( j ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(j\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega f(t)=F−1[F(jω)]=2π1∫−∞∞F(jω)ejωtdω - 适用条件
信号需满足 狄利克雷条件 ，核心是绝对可积： ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty ∫−∞∞∣f(t)∣dt<∞。对于不满足条件的信号（如直流信号、阶跃信号），可引入冲激函数 δ ( ω ) \delta(\omega) δ(ω)扩展傅里叶变换的应用范围。
2. 连续时间信号的拉普拉斯变换（LT）
拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广 ，通过引入复频率 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω解决了非绝对可积信号的变换问题，是分析线性时不变（LTI）系统的核心工具。
- 正变换（单边拉普拉斯变换，工程常用）
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt
其中， s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω 为复频率， σ \sigma σ 是实部，决定积分收敛性； F ( s ) F(s) F(s)是 f ( t ) f(t) f(t)的拉普拉斯变换。 - 逆变换
f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s ( t ≥ 0 ) f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}\,ds \quad (t\ge0) f(t)=L−1[F(s)]=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds(t≥0) - 收敛域（ROC）
使积分收敛的所有 s s s 的实部 σ \sigma σ范围，是拉普拉斯变换的关键属性 ------ 同一 F ( s ) F(s) F(s) 对应不同 ROC 时，逆变换的时域信号不同。
3. 离散时间信号的Z变换（ZT）
Z 变换是离散域的拉普拉斯变换，针对离散时间序列 f ( k ) f(k) f(k)（ k = 0 , 1 , 2 , ... k=0,1,2,\dots k=0,1,2,...），是分析离散线性时不变（DLTI）系统的核心工具。
- 正变换（单边 Z 变换，工程常用）
F ( z ) = Z [ f ( k ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) z − k F(z)=\mathcal{Z}[f(k)]=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k} F(z)=Z[f(k)]=∑k=0∞f(k)z−k
其中， z = r e j θ z=re^{j\theta} z=rejθ为复变量，r 是模， θ \theta θ是辐角（对应离散角频率）； F ( z ) F(z) F(z)是 f ( k ) f(k) f(k)的Z 变换。 - 逆变换
f ( k ) = Z − 1 [ F ( z ) ] = 1 2 π j ∮ C F ( z ) z k − 1 d z f(k)=\mathcal{Z}^{-1}[F(z)]=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}F(z)z^{k-1}\,dz f(k)=Z−1[F(z)]=2πj1∮CF(z)zk−1dz
其中，C 是 Z 平面上包含 F ( z ) F(z) F(z)所有极点的逆时针闭合曲线。 - 收敛域（ROC）
使级数收敛的所有 z 的模 r 范围，同样决定逆变换的唯一性。
二、 三种变换的关系
三种变换的本质是不同域下对信号 / 系统的描述 ，核心联系在于复频率的特殊取值 和域的映射关系。
1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
拉普拉斯变换是傅里叶变换的复频域扩展 ，傅里叶变换是拉普拉斯变换在 σ = 0 \boldsymbol{\sigma=0} σ=0 时的特例：
- 当 s = j ω s=j\omega s=jω（即复频率实部 σ = 0 \sigma=0 σ=0），若 F ( s ) F(s) F(s)的收敛域包含 s 平面的虚轴 ( Re ( s ) = 0 (\text{Re}(s)=0 (Re(s)=0），则 F ( j ω ) = F ( s ) ∣ s = j ω F(j\omega)=\left.F(s)\right|_{s=j\omega} F(jω)=F(s)∣s=jω
- 物理意义：拉普拉斯变换分析的是信号在复频域 的特性，而傅里叶变换仅分析纯频域（无衰减 / 增益）的特性。
- 适用场景差异：
- 傅里叶变换：适用于稳定系统的频域分析（如滤波、频谱分析）。
- 拉普拉斯变换：适用于不稳定 / 临界稳定系统的时域分析（如暂态响应、系统极点分析）。
2. 傅里叶变换与 Z 变换的关系
Z 变换是离散域的傅里叶变换推广，离散时间傅里叶变换（DTFT） 是 Z 变换在 ∣ z ∣ = 1 \boldsymbol{|z|=1} ∣z∣=1时的特例：
- 离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义为 F ( e j θ ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k ) e − j θ k F(e^{j\theta})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)e^{-j\theta k} F(ejθ)=∑k=−∞∞f(k)e−jθk其中， θ = ω T s \theta=\omega T_s θ=ωTs 为离散角频率 ( T s (T_s (Ts是采样周期）。
- 当 z = e j θ z=e^{j\theta} z=ejθ（即 Z 平面的单位圆， ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣z∣=1），若 F ( z ) F(z) F(z)的收敛域包含单位圆，则 F ( e j θ ) = F ( z ) ∣ z = e j θ F(e^{j\theta})=\left.F(z)\right|_{z=e^{j\theta}} F(ejθ)=F(z)∣z=ejθ
- 连续 FT 与离散 DTFT 的联系：对连续信号 f ( t ) f(t) f(t)采样得到 f ( k T s ) f(kT_s) f(kTs)，其 DTFT 是 f ( t ) f(t) f(t)傅里叶变换的周期延拓，这是采样定理的数学基础。
3. 拉普拉斯变换与 Z 变换的关系
两者是连续域与离散域 的对应关系，核心通过采样过程建立联系：
- 对连续信号 f ( t ) f(t) f(t)进行冲激采样，得到采样信号
f s ( t ) = f ( t ) ∑ k = 0 ∞ δ ( t − k T s ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T s ) δ ( t − k T s ) f_s(t)=f(t)\sum_{k=0}^{\infty}\delta(t-kT_s)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT_s)\delta(t-kT_s) fs(t)=f(t)∑k=0∞δ(t−kTs)=∑k=0∞f(kTs)δ(t−kTs)。 - 对 f s ( t ) f_s(t) fs(t)求拉普拉斯变换： F s ( s ) = L [ f s ( t ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k T s ) e − s k T s F_s(s)=\mathcal{L}[f_s(t)]=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT_s)e^{-skT_s} Fs(s)=L[fs(t)]=∑k=0∞f(kTs)e−skTs
- 对比 Z 变换定义，令 z = e s T s z=e^{sT_s} z=esTs，则 F ( z ) = F s ( s ) ∣ s = 1 T s ln z F(z)=\left.F_s(s)\right|_{s=\frac{1}{T_s}\ln z} F(z)=Fs(s)∣s=Ts1lnz
- 物理意义：复频率 s 与复变量 z 的映射关系 z = e s T s z=e^{sT_s} z=esTs，将 s 平面的左半平面 （ σ < 0 \sigma<0 σ<0）映射到 Z 平面的单位圆内 （ ∣ z ∣ < 1 |z|<1 ∣z∣<1），这是判断离散系统稳定性的核心依据。
三、 核心关系总结表
| 变换类型 | 核心变量 | 特殊取值关系 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 拉普拉斯变换 (LT) | 复频率 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω | s = j ω → 连续FT s=j\omega \rightarrow \text{连续FT} s=jω→连续FT | 连续 LTI 系统的时域 / 复频域分析 |
| Z 变换 (ZT) | 复变量 z = r e j θ z=re^{j\theta} z=rejθ | z = e j θ → 离散DTFT z=e^{j\theta} \rightarrow \text{离散DTFT} z=ejθ→离散DTFT | 离散 DLTI 系统的时域 / 复频域分析 |
| 傅里叶变换 (FT) | 角频率 ω \omega ω | 连续 FT 与离散 DTFT 通过采样关联 | 信号频谱分析、稳定系统频响 |