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前言
本文主要介绍两相永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料：
- R.Krishnan.永磁无刷电机及其驱动技术.机械工程出版社
推导永磁同步电机动态模型时，基于以下三个假设：
- 定子绕组加以对称正弦分布的磁动势
- 电感随着转子位置正弦变化
- 饱和及参数变化忽略不计
假设两相永磁同步电机如下图所示：
电压方程与磁链方程
在永磁同步电机中，定子交轴(b轴)以逆时针方向90°超前直轴(a轴)。定子中a轴和b轴的电压方程可由定子电阻的压降和以及磁链的微分之和求得。
V a = R a i a + d λ a d t V b = R b i b + d λ b d t \begin{aligned} V_a=R_a i_a+\frac{\textup {d} \lambda_a }{\textup {d} t} \\ V_b=R_b i_b+\frac{\textup {d} \lambda_b }{\textup {d} t} \end{aligned} Va=Raia+dtdλaVb=Rbib+dtdλb
其中，
V a V_a Va ------ a轴绕组电压
V b V_b Vb ------ b轴绕组电压
i a i_a ia ------ a轴绕组电流
i b i_b ib ------ b轴绕组电流
R a R_a Ra ------ a轴绕组电阻
R b R_b Rb ------ b轴绕组电阻
λ a \lambda_a λa ------ a轴绕组磁链
λ b \lambda_b λb ------ b轴绕组磁链
因为电机的绕组是对称的，因而绕组的电阻是相等的，其可以表示为 R = R a = R b R=R_a=R_b R=Ra=Rb。
化简后，矩阵表示为
V a V b \] = \[ R 0 0 R \] \[ i a i b \] + d d t \[ λ a λ b \] \\left\[ %左括号 \\begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\\\ %第一行元素 V_b\\\\ %第二行元素 \\end{array} \\right\]= \\left\[ %左括号 \\begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R\&0\\\\ %第一行元素 0\&R\\\\ %第二行元素 \\end{array} \\right\] \\left\[ %左括号 \\begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{array} \\right\] + \\frac{\\textup {d}}{\\textup {d} t} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\lambda_a\\\\ %第一行元素 \\lambda_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \[VaVb\]=\[R00R\]\[iaib\]+dtd\[λaλb
磁链方程为：
λ a = L a i a + L a b i b + λ f cos θ λ b = L b i b + L b a i b + λ f sin θ \begin{aligned} \lambda_a=L_{a}i_a+L_{ab}i_b+\lambda_f \textup {cos} \theta \\ \lambda_b=L_{b}i_b+L_{ba}i_b+\lambda_f \textup {sin} \theta \\ \end{aligned} λa=Laia+Labib+λfcosθλb=Lbib+Lbaib+λfsinθ
矩阵表示形式为：
λ a λ b \] = \[ L a L a b L b a L b \] \[ i a i b \] + λ f \[ cos θ sin θ \] \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\lambda_a\\\\ %第一行元素 \\lambda_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}\&L_{ab}\\\\ %第一行元素 L_{ba}\&L_{b}\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\lambda_f \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\textup {cos} \\theta\\\\ %第一行元素 \\textup {sin} \\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \[λaλb\]=\[LaLbaLabLb\]\[iaib\]+λf\[cosθsinθ
其中，
L a L_{a} La------a轴自感
L b L_{b} Lb------b轴自感
L a b L_{ab} Lab------b轴对a轴的互感
L b a L_{ba} Lba------a轴对b轴的互感
λ f \lambda _f λf------永磁体(转子)产生的磁链
θ \theta θ ------永磁体(转子)旋转的电角度
由于a轴与b轴是对称关系，所以， L a b = L a b = L m L_{ab}=L_{ab}=L_m Lab=Lab=Lm。
做如下定义：
当 θ = 0 ∘ \theta=0^{\circ} θ=0∘时， L a = L d L_{a}=L_d La=Ld，此时 L a L_{a} La最小。当 θ = 9 0 ∘ \theta=90^{\circ} θ=90∘时， L a = L q L_{a}=L_q La=Lq，此时 L a L_{a} La最大。
可以得到如下公式：
L a = L 1 − L 2 cos 2 θ L b = L 1 + L 2 cos 2 θ L m = − L 2 sin 2 θ L_a=L_1-L_2\textup {cos} 2\theta\\ L_b=L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ L_m=-L_2\textup {sin} 2\theta La=L1−L2cos2θLb=L1+L2cos2θLm=−L2sin2θ
其中
L 1 = L q + L d 2 L 2 = L q − L d 2 \begin{aligned} L_1=\frac{L_q+L_d}{2}\\ L_2=\frac{L_q-L_d}{2} \end{aligned} L1=2Lq+LdL2=2Lq−Ld
且
L d = L 1 − L 2 L q = L 1 + L 2 L_d=L_1-L_2\\ L_q=L_1+L_2\\ Ld=L1−L2Lq=L1+L2
注意：
表贴式永磁同步电机 L a L_a La与 L b L_b Lb变化量很小，为5％到15％，在建模中，认为其不存在凸极性，取
L d = L q = L 1 L 2 = 0 L_{d}=L_{q}=L_1\\ L_2=0 Ld=Lq=L1L2=0
结论
不失一般性，两项电机实时模型的电压方程为：
V a V b \] = \[ R 0 0 R \] \[ i a i b \] + d d t \[ λ a λ b \] \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\\\ %第一行元素 V_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R\&0\\\\ %第一行元素 0\&R\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\frac{\\textup {d}}{\\textup {d} t} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\lambda_a\\\\ %第一行元素 \\lambda_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \[VaVb\]=\[R00R\]\[iaib\]+dtd\[λaλb
磁链方程为：
λ a λ b \] = \[ L a L m L m L b \] \[ i a i b \] + λ f \[ cos θ sin θ \] = \[ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ \] \[ i a i b \] + λ f \[ cos θ sin θ \] \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\lambda_a\\\\ %第一行元素 \\lambda_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}\&= \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}\&L_{m}\\\\ %第一行元素 L_{m}\&L_{b}\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\lambda_f \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\textup {cos} \\theta\\\\ %第一行元素 \\textup {sin} \\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}\\\\\& = \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\\textup {cos} 2\\theta\&-L_2\\textup {sin} 2\\theta\\\\ %第一行元素 -L_2\\textup {sin} 2\\theta\& L_1+L_2\\textup {cos} 2\\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\lambda_f \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\textup {cos} \\theta\\\\ %第一行元素 \\textup {sin} \\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\end{aligned} \[λaλb\]=\[LaLmLmLb\]\[iaib\]+λf\[cosθsinθ\]=\[L1−L2cos2θ−L2sin2θ−L2sin2θL1+L2cos2θ\]\[iaib\]+λf\[cosθsinθ
若是表贴式永磁同步电机，磁链方程则可以简化为：
λ a λ b \] = \[ L a 0 0 L b \] \[ i a i b \] + λ f \[ cos θ sin θ \] = \[ L 1 0 0 L 1 \] \[ i a i b \] + λ f \[ cos θ sin θ \] \\begin{aligned} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\lambda_a\\\\ %第一行元素 \\lambda_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}\&= \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}\&0\\\\ %第一行元素 0\&L_{b}\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\lambda_f \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\textup {cos} \\theta\\\\ %第一行元素 \\textup {sin} \\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}\\\\\& = \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1\&0\\\\ %第一行元素 0\& L_1\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\\\ %第一行元素 i_b\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix}+ \\lambda_f \\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \\textup {cos} \\theta\\\\ %第一行元素 \\textup {sin} \\theta\\\\ %第二行元素 \\end{bmatrix} \\end{aligned} \[λaλb\]=\[La00Lb\]\[iaib\]+λf\[cosθsinθ\]=\[L100L1\]\[iaib\]+λf\[cosθsinθ