常见序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）
| 序列 x ( n ) x(n) x(n) | 离散时间傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) | 备注 |
|---|---|---|
| δ ( n ) \delta(n) δ(n) | 1 | |
| 1 | 2 π ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω + 2 k π ) 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega + 2k\pi) 2π∑k=−∞∞δ(ω+2kπ) | 1 = e j ω 0 n ∣ ω 0 = 0 1 = {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} |_{\omega_0 = 0} 1=ejω0n∣ω0=0 |
| δ ( n − m ) \delta(n-m) δ(n−m) | e − j m ω {\rm e}^{-{\rm j}m\omega} e−jmω | |
| u ( n ) u(n) u(n) | 1 1 − e − j ω + π ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω + 2 k π ) \frac{1}{1 - {\rm e}^{-{\rm j}\omega}} + \pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega + 2k\pi) 1−e−jω1+π∑k=−∞∞δ(ω+2kπ) | |
| a n u ( n ) a^n u(n) anu(n) | 1 1 − a e − j ω \frac{1}{1 - a {\rm e}^{-{\rm j}\omega}} 1−ae−jω1 | ∣ a ∣ < 1 |a| < 1 ∣a∣<1 |
| R N ( n ) R_N(n) RN(n) | e − j ω N / 2 sin ( ω N / 2 ) sin ( ω / 2 ) {\rm e}^{-{\rm j}\omega N/2} \frac{\sin(\omega N/2)}{\sin(\omega/2)} e−jωN/2sin(ω/2)sin(ωN/2) | |
| e j ω 0 n {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} ejω0n | 2 π ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − ω 0 − 2 k π ) 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - \omega_0 - 2k\pi) 2π∑k=−∞∞δ(ω−ω0−2kπ) | |
| cos ( ω 0 n ) \cos(\omega_0 n) cos(ω0n) | π ∑ k = − ∞ ∞ [ δ ( ω + ω 0 + 2 k π ) + δ ( ω − ω 0 + 2 k π ) ] \pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\delta(\omega + \omega_0 + 2k\pi) + \delta(\omega - \omega_0 + 2k\pi)] π∑k=−∞∞[δ(ω+ω0+2kπ)+δ(ω−ω0+2kπ)] | cos ( ω 0 n ) = 1 2 ( e j ω 0 n + e − j ω 0 n ) \cos(\omega_0 n) = \frac{1}{2}({\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} + {\rm e}^{-{\rm j}\omega_0 n}) cos(ω0n)=21(ejω0n+e−jω0n) |
| sin ( ω 0 n ) \sin(\omega_0 n) sin(ω0n) | j π ∑ k = − ∞ ∞ [ δ ( ω + ω 0 + 2 k π ) − δ ( ω − ω 0 + 2 k π ) ] {\rm j}\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} [\delta(\omega + \omega_0 + 2k\pi) - \delta(\omega - \omega_0 + 2k\pi)] jπ∑k=−∞∞[δ(ω+ω0+2kπ)−δ(ω−ω0+2kπ)] | sin ( ω 0 n ) = 1 2 j ( e j ω 0 n − e − j ω 0 n ) \sin(\omega_0 n) = \frac{1}{2{\rm j}}({\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} - {\rm e}^{-{\rm j}\omega_0 n}) sin(ω0n)=2j1(ejω0n−e−jω0n) |
矩形序列与抽样函数
- 时域信号 ：
x [ n ] = { 1 , 0 ⩽ n ⩽ N − 1 0 , 其他 x[n] = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant n \leqslant N-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} x[n]={1,0,0⩽n⩽N−1其他 - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = ∑ n = 0 N − 1 e − j ω n = e − j N − 1 2 ω sin ( N ω 2 ) sin ( ω 2 ) X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \sum_{n=0}^{N-1} {\rm e}^{-{\rm j}\omega n} = {\rm e}^{-{\rm j}\frac{N-1}{2}\omega} \frac{\sin\left(\frac{N\omega}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} X(ejω)=n=0∑N−1e−jωn=e−j2N−1ωsin(2ω)sin(2Nω)
单位冲激序列与常数函数
- 时域信号 ：
x [ n ] = δ [ n ] x[n] = \delta[n] x[n]=δ[n] - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = 1 X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = 1 X(ejω)=1
复指数序列与冲激函数
- 时域信号 ：
x [ n ] = e j ω 0 n x[n] = {\rm e}^{{\rm j}\omega_0 n} x[n]=ejω0n - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( ω − ω 0 − 2 π k ) X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - \omega_0 - 2\pi k) X(ejω)=2πk=−∞∑+∞δ(ω−ω0−2πk)
单位阶跃序列与指数衰减函数
- 时域信号 ：
x [ n ] = u [ n ] = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 x[n] = u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} x[n]=u[n]={1,0,n≥0n<0 - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = 1 1 − e − j ω X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \frac{1}{1 - {\rm e}^{-{\rm j}\omega}} X(ejω)=1−e−jω1
正弦序列
- 时域信号 ：
x [ n ] = sin ( ω 0 n ) x[n] = \sin(\omega_0 n) x[n]=sin(ω0n) - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = j π [ δ ( ω + ω 0 ) − δ ( ω − ω 0 ) ] X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = {\rm j}\pi \left[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)\right] X(ejω)=jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]
余弦序列
- 时域信号 ：
x [ n ] = cos ( ω 0 n ) x[n] = \cos(\omega_0 n) x[n]=cos(ω0n) - 频域信号 ：
X ( e j ω ) = π [ δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] X({\rm e}^{{\rm j}\omega}) = \pi \left[\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)\right] X(ejω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]
这些变换对在信号处理中非常重要，它们揭示了信号在时域和频域之间的对应关系，有助于分析和设计各种信号处理系统。