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前言
本专栏上篇博客带大家了解了前缀和的有关模版以及习题的训练
从一维到二维的拓展，今天我们继续来练习一下前缀和的有关算法
fellow me
和为k的子数组
思路
设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个**「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2,x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是sum[i] - k 了。
于是问题就变成：
◦ 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。
我们不用 真的初始化一个前缀和数组**，因为我们只关心在 i 位置之前 ，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和 ，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。
前缀和和哈希结合起来还是很巧妙的
cpp
class Solution
{
public:
int subarraySum(vector<int>& nums, int k)
{
unordered_map<int, int> hash;
hash[0] = 1;
int sum = 0, ans = 0;
for(auto x : nums)
{
sum += x;
if(hash.count(sum - k)) // 判断前面的区间有没有 sum - k
{ // 如果有 前面区间到当前位置就满足条件
ans += hash[sum - k];
}
hash[sum]++;
}
return ans;
}
};和可被k整除的子数组
思路
乍一看，好像和上一题差不多，但是又好像有点不同，来处理一下这个整除k吧，把问题转换到上一题
同余定理：
如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到一个结论： a % n == b % n ，用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2
c++ 中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果
--c++ 中关于负数的取模运算 ，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号」
例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
--因为有负数，为了防止发生「出现负数」的结果 ，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正
例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
这些处理完之后，剩下的就和前面的那个题目一样啦
cpp
class Solution
{
public:
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k)
{
int sum = 0, ans = 0;
unordered_map<int, int> hash;
hash[0 % k] = 1; // 注意不要遗忘 0 这个情况
for(auto x : nums)
{
sum += x; // 算出当前的前缀和
int ret = (sum % k + k) % k; // 修正后的余数
if(hash.count(ret)) ans += hash[ret];// 统计结果
hash[ret]++;
}
return ans;
}
};连续数组
思路
稍微转化一下题目，把 0 都看成 -1 ，这样就变成 和为 0 的最大长度的子数组
稍微处理一下细节就好啦
cpp
class Solution
{
public:
int findMaxLength(vector<int>& nums)
{
unordered_map<int, int> hash;
int sum = 0, ans = 0;
hash[0] = -1; // 不要忘记 0 这个情况
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // sum前缀和
if(hash.count(sum)) ans = max(ans, i - hash[sum]);// 判断条件 更新ans
else
hash[sum] = i;//否则 更新hash
}
return ans;
}
};矩阵区域和
思路
二维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上角」以及「右下角」的坐标
左上角坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会**「超过矩阵」的范围**，因此需要对 0取一个 max
因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k)
右下角坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围 ，因此需要对 m- 1 ，以及 n - 1 取一个 min
因此修正后的坐标为：x2 = min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k)
主要就是处理边界问题，以及预处理前缀和后的下标映射问题
cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k)
{
int n = mat.size(), m = mat[0].size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
for(int i = 1; i <= n; i++)// 预处理
{
for(int j = 1 ; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
}
}
vector<vector<int>> ans(n, vector<int>(m)); // answer 数组
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < m; j++)
{
int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1; // 注意下标映射到 dp数组
int x2 = min(n - 1, i + k) + 1, y2 = min(m - 1, j + k) + 1;
ans[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
}
return ans;
}
};总结
总结
前缀和算法通过预处理数组，将区间和查询优化为常数时间，是处理子数组问题的利器。其核心在于利用哈希表动态记录前缀和及其出现次数，将问题转化为查找特定差值或余数，从而高效统计满足条件的子数组。
在一维数组中，通过同余定理转换问题（如将整除转化为余数相等）、将元素转换为±1求平衡子数组，展现了前缀和的灵活运用。处理负数取模时，需修正余数保证非负。
对于二维前缀和，需注意矩阵边界的截断处理，通过坐标映射与容斥原理快速计算区域和。
总之，前缀和与哈希表结合，能有效解决多种子数组统计问题，关键在于问题转化与边界处理，提升算法效率的同时降低复杂度。
今天的内容就到这里啦，不要走开，小编持续更新中~~~~
