图的基本概念
导读
大家好，很高兴又和大家见面啦！！！
在上一篇中，我们初步认识了图的定义与分类。今天，我们将深入探讨图的核心概念：
• 顶点的度 （无向图与有向图的入度、出度）
• 路径与回路 （简单路径、简单回路、路径长度的计算）
• 距离与连通性 （连通图、强连通图的判断）
• 子图与连通分量（生成子图、极大连通子图）
通过生活化示例与图解，助你轻松掌握图的基础逻辑。让我们开始吧！
一、顶点的度
在无向图中，顶点v的度是指依附于顶点v的边的条数，记为 T D ( v ) TD(v) TD(v)。
在有向图中，顶点v的度分为入度和出度：
- 入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)
- 出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)
- 顶点v的度为入度与出度之和，即 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v) = ID(v) + OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)
在有向图中，全部顶点的入度和与出度和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个顶点和一个终点。
二、路径
路径：是两个顶点之间的所有顶点组成的顶点序列
A B C D E
在上图中，因为该图为无向图，所以顶点B到顶点E的路径有两条：
- 路径1： B , C , D , E B, C, D, E B,C,D,E
- 路径2： B , A , E B, A, E B,A,E
而在有向图中，路径的方向应与弧的方向保持一致：
A B C D E
例如上图中，B到E的路径只有一条： B , C , D , E B, C, D, E B,C,D,E
这是因为B和A之间存在弧 < B , A > <B, A> <B,A> ，但是在A和E之间并不存在弧 < A , E > <A, E> <A,E> ，这就说明顶点A并没有邻接到顶点E，因此我们无法从顶点A直接到顶点E。
这就好比生活中的自来水厂供水，我们平时用的自来水都是自来水厂通过自来水管道向我们提供，该管道是一个单向管道，自来水只能从水厂流动到我们家里，我们无法从家里将自来水流回到自来水厂。
自来水厂 住宅 公寓 办公楼 商城
在一条路径中，与其相关联的边我们可以将其理解为路径的构成要素。即只有两个顶点有将其相连接的边（或者弧）那这两个顶点之间才会存在路径：
A B C D E F a b c d e
就比如上图中，顶点F与其它顶点之间都没有与之相连的边或弧，因此顶点F与其它顶点之间不存在路径。
回路：第一个顶点与最后一个顶点相同的路径就是回路，也称为环。
就比如在上面的有向图中，存在一条回路为： a , b , a a, b, a a,b,a，或者上面的无向图中，每个顶点都存在两条回路，以点A为例：
- 回路1： A , B , C , D , E , A A, B, C, D, E, A A,B,C,D,E,A
- 回路2： A , E , D , C , B , A A, E, D, C, B, A A,E,D,C,B,A
简单路径：在路径序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
简单的来说就是在路径中不存在回路，这里我们有向图为例：
A B C D E
在上图中，顶点A到顶点E存在以下路径：
- 路径1：A, B, C, D, E
- 路径2：A, B, C, B, C, D, E
这里的路径1就是简单路径，路径2中存在顶点B与顶点C的回路，因此不是简单路径。
简单回路：在回路中，除了第一个顶点和最后一个顶点外，其它顶点都不重复出现。
这里我们还是以这个图为例：
- 回路1：A, B, C, D, E, A
- 回路2：A, B, C, B, C, D, E, A
在这两个回路中，回路1就是只有第一个顶点和最后一个顶点相同，因此它就是简单回路；
在回路2中，除了第一个顶点与最后一个顶点外，还存在其它重复的顶点，因此它不是简单回路。
路径长度：路径上的边的数目称为路径长度。
在前面的回路1中，其路径长度为：5；在回路2中，其路径长度为7。
三、距离
距离：距离指的是顶点到顶点之间的最短路径。
A B C D E F
我们以上图的无向图为例，顶点A到顶点E总共有以下简单路径：
- 简单路径1：A, B, C, D, E
- 简单路径2：A, D, E
- 简单路径3：A, E
其中，最短路径为简单路径3------A, E，其路径长度为1，因此顶点A到顶点E的距离为1。
那对于顶点A到顶点F呢？它们之间的距离又是多少？
从图中我们不难发现，这两个顶点之间并没有将其连接的边，也就是说，我们无法从A到达F，也没办法从F到达A，因此我们可以说他们之间的距离为 ∞ \infty ∞ 。
这个怎么理解呢？
在无向图总，边就是连接两个顶点之间的桥梁，这就好比两座孤岛，如果这两座孤岛之间存在能够相互联系的方式，如桥梁、船、飞机、潜艇......，只要存在，不管是哪种方式都行，这时我们就有办法测量两座孤岛的距离；
但是，如果这两座孤岛之间无法相互联系，那么我们就无法测量这两座孤岛之间的距离，这时我们就可以将这个距离视为无穷（ ∞ \infty ∞），这就和钓鱼一样，钓不到的鱼一定是最大的。
四、连通
连通 ：连通指的是两个顶点之间存在路径。
非连通：非连通指的是两个顶点之间不存在路径。
a b c
在上图中，顶点a和顶点b就是连通的，顶点c和其他两个顶点就是非连通的。
连通图：连通图指的是所有的顶点都是连通的无向图。
a b c
在上图中，所有的顶点之间都存在路径，因此顶点与顶点之间都是连通的。像这种顶点与顶点之间都连通的无向图，我们就称为连通图。
非连通图：非连通图指的是存在非连通的顶点的无向图。
a b c d
在上图中，顶点d与其它顶点都不连通，像这种存在非连通的无向图，我们就称为非连通图。
强连通 ：强连通指的是两个顶点之间相互存在有向路径。
非强连通：非强连通指的是两个顶点之间最多存在一条有向路径。
a b c
在上图中，顶点a和顶点b之间既存在弧<a, b>，又存在弧<b, a>，因此我们称这两个顶点式强连通的；顶点b和顶点c之间只存在弧<b, c>，并不存在弧<c, b>，因此我们称这两个顶点是非强连通的。
强连通图：强连通图指的是所有顶点之间都是强连通的有向图。
a b c
在上图中，顶点与顶点之间都是连通的，这就是我们说的强连通图。
非强连通图：非强连通图指的是存在非强连通顶点的有向图。
a b c d e
在上图中，顶点d和顶点e就是非强连通顶点：
- 顶点d与其它顶点之间只存在一条单向路径
- 顶点e与其它顶点之间不存在路径
像这种存在非强连通顶点的有向图就是非强连通图。
五、子图
子图：子图指的是图G的子集。
a b c d e
在这个有向图中，我们可以取一个子集：
a b c d e
这个子集就是原图G的子图。但是并不是任何子集都是原图的子图：
a b c 无顶点 e
当我们所取的子集无法构成一个图时，那么这个子集就不是原图的子图。
生成子图：生成子图指的是由原图中的所有顶点集以及边集的子集构成的图。
a b c d e
上图是我们在原图中所取的一个有顶点集和边集的子集构成的子图，这就是原图的一个生成子图。
在生成子图 G ′ G' G′ 中，顶点集 V ′ V' V′ 一定与原图的顶点集 V V V 相等，即 V ′ ⟺ V V' \iff V V′⟺V 。
极大连通子图：极大连通子图又称为连通分量，指的是在无向图子图中，包含尽可能多的顶点与边组成的子图，且该子图也是一个连通图。
a b c d
在这个无向图中，存在两个子图：
- 图 G 1 = ( V 1 , E 1 ) G_1 = (V_1, E_1) G1=(V1,E1), 其中 V 1 = { a , b , c } , E 1 = { ( a , b ) , ( b , c ) } V_1 = \{a, b, c\},\ E_1 = \{(a, b), (b, c)\} V1={a,b,c}, E1={(a,b),(b,c)}
a b c
- 图 G 2 = ( V 2 , E 2 ) G_2 = (V_2, E_2) G2=(V2,E2), 其中 V 2 = { d } , E 1 = { ∅ } V_2 = \{d\},\ E_1 = \{\varnothing\} V2={d}, E1={∅}
d
这两个子图就是图G的两个连通分量。
这时有朋友可能就会问了，是不是所有的子图只要是连通图，那就是一个连通分量呢？
如子图 G 3 = ( V 3 , E 3 ) G_3 = (V_3, E_3) G3=(V3,E3), 其中 V 1 = { a , b } , E 1 = { ( a , b ) } V_1 = \{a, b\},\ E_1 = \{(a, b)\} V1={a,b}, E1={(a,b)}
a b
很遗憾的告诉你，这个子图不是连通分量。这里我们一定要谨记连通分量是图中极大的连通子图，即子图内的所有顶点必须相互连通，且无法通过添加更多的顶点或边来维持这种连通性。
像子图 G 3 G_3 G3我们就可以通过增加顶点c继续维持这种连通性，因此子图 G 3 G_3 G3不是图 G G G的连通分量。
极大强连通子图：极大强连通子图又称为强连通分量，是有向图的子图中包含尽可能多的顶点和边组成的强连通图。
这里我就不再举例说明，我们只需要明确几点：
- 无向图中，顶点与顶点之间存在路径称为连通
- 有向图中，顶点与顶点之间相互存在有向路径称为强连通
- 极大连通子图是无向图中的连通分量
- 极大强连通子图是有向图中的强连通分量
结语
内容总结
本文系统讲解了图的五大核心概念：
- 顶点的度：无向图的度直接计数，有向图区分入度、出度，并验证了全图入度与出度之和相等。
- 路径与回路：通过无向图与有向图的对比，明确了简单路径、回路的定义及路径长度的计算。
- 距离与连通性：距离是两顶点的最短路径长度，连通图（无向）与强连通图（有向）的判断标准得以清晰划分。
- 子图与连通分量：生成子图需保留所有顶点，而连通分量是"不可扩展"的极大连通子图。
下期预告
下一篇中，我们将继续深入：
• 生成树 ：连通图的极小连通子图
• 边的权 ：带权图的应用场景（如最短路径问题）
• 稠密图与稀疏图：边数与顶点数的关系对算法效率的影响
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