NO.63十六届蓝桥杯备战|基础算法-⼆分答案|木材加工|砍树|跳石头(C++)

⼆分答案可以处理⼤部分「最⼤值最⼩」以及「最⼩值最⼤」的问题。如果「解空间」在从⼩到⼤的「变化」过程中，「判断」答案的结果出现「⼆段性」，此时我们就可以「⼆分」这个「解空间」，通过「判断」，找出最优解。

这个「⼆分答案」的原理其实很容易理解，重点是如何去「判断」答案的可⾏性。

P2440 木材加工 - 洛谷

设要切成的⻓度为x ，能切成的段数为c 。根据题意，我们可以发现如下性质：

当x 增⼤的时候，c 在减⼩。也就是最终要切成的⻓度越⼤，能切的段数越少；
当x 减⼩的时候，c 在增⼤。也就是最终要切成的⻓度越⼩，能切的段数越多。
那么在整个「解空间」⾥⾯，设最终的结果是ret ，于是有：
当x<=ret时，c>=k。也就是「要切的⻓度」⼩于等于「最优⻓度」的时候，最终切出来的段
数「⼤于等于」k ；
当x > ret时，c < k 。也就是「要切的⻓度」⼤于「最优⻓度」的时候，最终切出来的段数
「⼩于」k；
在解空间中，根据ret的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。
当我们每次⼆分⼀个切成的⻓度x 的时候，如何算出能切的段数c ？
很简单，遍历整个数组，针对每⼀根⽊头，能切成的段数就是a[i] / x。

calc(mid) >= k -> left = mid;
calc(mid) < k -> right = mid - 1;

有-1，mid = (left + right + 1) / 2

x表示切割出来的小段的长度

c表示在x的基础下，最多能切出多少段

k表示最终要切割的段数

calc计算切割长度为x的时候，能切出来多少段

c++ 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;
LL n, k;
LL a[N];

LL calc(LL x)
{
    LL cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cnt += a[i] / x;        
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    LL left = 0, right = 1e8;
    while (left < right)
    {
        LL mid = (left + right + 1) / 2;
        if (calc(mid) >= k) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    cout << left << endl;
    
    return 0;
}

P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树 - 洛谷

设伐⽊机的⾼度为H ，能得到的⽊材为C 。根据题意，我们可以发现如下性质：

当H 增⼤的时候，C 在减⼩；
当H 减⼩的时候，C 在增⼤。
那么在整个「解空间」⾥⾯，设最终的结果是ret ，于是有：
当H<=ret时，C>=M。也就是「伐⽊机的⾼度」⼤于等于「最优⾼度」时，能得到的⽊材
「⼩于等于」M；
当H>ret时，C<M。也就是「伐⽊机的⾼度」⼩于「最优⾼度」时，能得到的⽊材「⼤
于」M。
在解空间中，根据ret的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。
当我们每次⼆分⼀个伐⽊机的⾼度H 的时候，如何算出得到的⽊材C ？
很简单，遍历整个数组，针对每⼀根⽊头，能切成的⽊材就是a[i] - H

calc(mid) >= M -> left = mid;
calc(mid) < M -> right = mid - 1;

有-1，mid = (left + right + 1) / 2

h表示伐木机的高度

c表示在h的基础下，所能获得的木材

calc计算高度为h的时候，所能获得的木材

c++ 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
LL n, m;
LL a[N];

LL calc(LL x)
{
    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] > x) ret += a[i] - x;        
    }
    return ret;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    LL left = 1, right = 2e9;
    while (left < right)
    {
        LL mid = (left + right + 1) / 2;
        if (calc(mid) >= m) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    cout << left << endl;
    
    return 0;
}

P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头 - 洛谷

设每次跳的最短距离是x ，移⾛的⽯头块数为c 。根据题意，我们可以发现如下性质：

当x 增⼤的时候，c 也在增⼤；
当x 减⼩的时候，c 也在减⼩。
那么在整个「解空间」⾥⾯，设最终的结果是ret ，于是有：
当x<=ret时，c<=M。也就是「每次跳的最短距离」⼩于等于「最优距离」时，移⾛的⽯头块数「⼩于等于」M；
当x>ret时，c>M。也就是「每次跳的最短距离」⼤于「最优距离」时，移⾛的⽯头块数「⼤于」M。
在解空间中，根据ret的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。
当我们每次⼆分⼀个最短距离x 时，如何算出移⾛的⽯头块数c ？
定义前后两个指针i, j 遍历整个数组，设i ≤ j ，每次j 从i 的位置开始向后移动；
当第⼀次发现a[j] - a[i] ≥ x 时，说明[i + 1, j - 1] 之间的⽯头都可以移⾛；
然后将i 更新到j 的位置，继续重复上⾯两步。

calc(mid) <= M -> left = mid;
calc(mid) > M -> right = mid - 1;

有-1，mid = (left + right + 1) / 2

x表示最短跳跃高度

c表示在x的基础下，移走岩石的数目

c++ 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5e4 + 10;
LL l, n, m;
LL a[N];

LL calc(LL x)
{
    LL ret = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int j = i+1;
        while (j <= n && a[j] - a[i] < x) j++;
        ret += j - i - 1;
        i = j-1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> l >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    a[n + 1] = l;
    n++;
    LL left = 1, right = l;
    while (left < right)
    {
        LL mid = (left + right + 1) / 2;
        if (calc(mid) <= m) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    cout << left << endl;
    
    return 0;
}