图的基本概念
导读
大家好，很高兴又和大家见面啦！！！
【数据结构】这门课主要会学习2种结构：
- 线性结构
- 非线性结构
而线性结构中的顺序表、链表、栈、队列、串、矩阵、数组我们已经学完了。非线性结构中的树、集合我们也已经学完了。下面我们就将进入【数据结构】的最后一个非线性结构------图的学习。
在第六章------图这个章节中，我们会分为4个板块来学习：
- 图的基本概念
- 图的存储与基本操作
- 图的遍历
- 图的基本应用
从今天开始，我们会进入图的第一个板块------图的基本概念的学习。我们会在今天的内容中，知道什么是图？图有哪些分类？以及图中的一些重要概念。下面我们就一起进入今天的内容吧！！！
一、图的定义
图（Graph）是数据结构中一种重要的非线性结构，用于表示对象之间的关系。它由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，能够建模复杂的关联关系，广泛应用于社交网络、路径规划、推荐系统等领域。
图 G G G 是由顶点集 V V V 和边集 E E E 组成，记为 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，其中 V ( G ) V(G) V(G) 表示图 G G G 中的顶点的有限非空集； E ( G ) E(G) E(G) 表示图 G G G 中顶点之间的关系（边）集合。
这里我们以上图中展示的图来进一步的认识图中的顶点与边。
所谓的顶点，就是A/B/C/D/E这些结点；边指的就是连接这些顶点的线。在一个图中，可以顶点与顶点之间可以没有线连接，即边集可以为空集；但是不存在没有顶点的图，即顶点集一定是非空集。
举一个最简单的例子，在上图中，如果我们只看结点A，其它都不看，此时的结点A就是一个图：
A
再说一个我们比较熟悉的例子，我们目前所学的数据结构：
- 线性结构：顺序表、链表、栈、队列、串、矩阵
- 非线性结构：
- 树形结构：树、m叉树、森林
- 集合
- 并查集
这些都可以看做一种特殊图。这是因为这些数据结构都是由顶点与边构成：
- 线性结构：由n个顶点和n-1条边构成的单链路径的图，无环无分支；
a b c d
- 树形结构：由n个顶点与n-1条边构成的有向无环图
a b c
- 集合：由n个顶点与0条边构成的零图
a b c
- 并查集：由多个无向无环图构成
a b c d e f
那也就是说，只要是由顶点与将各个顶点连接起来的边就能得到图；
在图 G G G 中，若 V = v 1 , v 2 , v 3 ... ... V={v_1, v_2, v_3......} V=v1,v2,v3...... ，则我们可以用 ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 表示图 G G G 中顶点的个数，也称为图 G G G 的阶， E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V ， v ∈ V } E = \{(u, v)|u∈V，v∈V\} E={(u,v)∣u∈V，v∈V} ，用 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 表示图 G G G 中边的条数。
在线性表、树中我们都有提到过一种特殊情况------空表、空树。也就是说在线性表和树中可以什么都没有，但是在图中不行，图不存在空图。
接下来我们就来认识一下图中的一些基本概念与术语；
二、图的分类
2.1 有向图与无向图
在图中，我们根据边是否有明确的方向指示将图分为两类：
- 有向图
若E为有向边（也称弧）的有限集合，则图G为有向图。
弧是顶点的有序对，记为 < v , w > <v, w> <v,w> 。
其中v与w是顶点，v称为弧尾 ，w称为弧头 ；
< v , w > <v, w> <v,w> 称为从v到w的弧，也称v邻接到w。
弧 弧 弧 a b c
上图可表示为：
G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)
V = { a , b , c } V = \{a, b, c\} V={a,b,c}
E = { < a , b > , < b , c > , < c , a > } E = \{<a, b>, <b, c>, <c, a>\} E={<a,b>,<b,c>,<c,a>}
在上图中，存在3条弧：
- < a , b > <a, b> <a,b>：a为弧尾，b为弧头，a邻接到b
- < b , c > <b, c> <b,c>：b为弧尾，c为弧头，从b到c的弧
- < c , a > <c, a> <c,a>：c为弧尾，a为弧头，从c到a的弧，也叫做c邻接到a
当我们在表述一条弧时，我们采用前两种中的任意一种即可，第3条弧，我是为了给大家展示两种说法都是可行的，没有其它的含义。
- 无向图
若E是无向边（简称边）的有限集合，则图G称为无向图。
边是顶点的无序对，记为 ( v , w ) (v, w) (v,w) 或 ( w , v ) (w, v) (w,v) 。可以说w与v互为邻接点。
边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 依附于w和v，也可以称为边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 和v，w相关联。
边 边 边 a b c
上图可表示为：
G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)
V = { a , b , c } V = \{a, b, c\} V={a,b,c}
E = { ( a , b ) , ( b , c ) , ( c , a ) } E = \{(a, b), (b, c), (c, a)\} E={(a,b),(b,c),(c,a)}
在上图中，有3条边：
- ( a , b ) (a, b) (a,b)：边 ( a , b ) (a, b) (a,b) 依附于a和b
- ( b , c ) (b, c) (b,c)：边 ( b , c ) (b, c) (b,c) 与b和c相关联
- ( c , a ) (c, a) (c,a)：边 ( c , a ) (c, a) (c,a) 依附于a和c
在无向图中，由于没有起点与终点之分，因此我们在表述时，不需要在意顶点的先后顺序
2.2 简单图与多重图
按照边是否重复，我们可以将图分为两类：
- 简单图
一个图G若满足：
- 不存在重复边
- 不存在顶点到自身的边
则图G称为简单图。
a b c
像上图这种没有重复边且不存在自环的图就是简单图，前面展示的有向图与无向图都是简单图
- 多重图
与简单图相反，多重图中会存在三种情况：
- 仅有重复边（或弧），不允许自环
a b c
像上图这种有多条重复的弧，但是没有出现自环的图就是狭义上的多重图；
- 仅有自环，无重复边（或弧）
a b c
像上图这种存在自环，但是无重复弧的图也属于多重图，但是我们将其称为伪图；
- 既有重复边，又有自环
a b c
像上图这种既存在重复弧，又有自环的图，就是广义上的多重图，也称为伪图。
在本章节的学习中，我们只会学习简单图，不会接触多重图，因此大家只需要对多重图有一个基本的了解即可！！！
三、生活中的图
介绍完了图的两种分类方式，接下来我们就来看一下日常生活中的图：
- 交通网络
在我们的生活中，交通网络就是一个最直白的有向图的例子，比如我们要从上海去北京，那我们就需要搭乘该方向的交通工具：
上海 北京
上海与北京这就是图中的两个顶点，它们之间的路径就是对应的弧；
- 人际关系网络
我们在生活中会接触各种各样的人，认识各种各样的朋友，这些交际关系组织成的网络就是一个典型的无向图：
小红 小明 小新 小陆
在人际关系网中，每个人都是一个顶点，人与人之间的联系就是连接两个顶点的边；
- 思维导图
我们平时不管是在学习，还是工作中，肯定离不开思维导图，这里我们以图这个章节中的思维导图为例：
图 基本概念 存储与基本操作 遍历 基本应用 定义 分类 有无方向 有无重复边或自环
在思维导图中，各知识点就是图中的各个结点，知识点之间的逻辑关系就是连接各个结点的边（或弧）
结语
📌 今日核心要点
1. 图的定义与本质
- 组成 ：由顶点集（非空） 和边集（可为空）构成，记为 G = (V, E) 。
- 不可为空：至少含一个顶点，但边可缺失（如单顶点图）。
- 广义性：线性表、树、集合等均为图的特例（链表是单链路径图，树为有向无环图）。
2. 图的分类
按方向性
- 有向图 ：边为有序弧（如 < a , b > <a, b> <a,b>），严格区分方向（弧尾→弧头）。
- 无向图 ：边为无序对（如 ( a , b ) (a, b) (a,b)），顶点关系对称。
按边复杂度
- 简单图：禁止重复边与自环，算法研究核心。
- 多重图：允许重复边/自环，贴近现实场景（如交通多线路）。
3. 现实映射
- 交通路线（有向）、社交网络（无向）、知识图谱（混合）均为图的实例。
🔍 下期预告
1. 顶点连接性指标
- 度（Degree）：无向顶点的边数（社交活跃度）。
- 入度（In-degree）：有向顶点接收的弧数（影响力接收度）。
- 出度（Out-degree）：有向顶点发出的弧数（信息传播力）。
2. 图的连通性
- 路径与环路：可达性判断与环路对算法的影响。
- 连通图与连通分量：如何识别独立子结构（如社交圈层）。
3. 带权图解析
- 边权重：量化关系的现实意义（如导航距离、通信成本）。
思考题预热：
- 如何用"出度"识别社交网络中的信息传播枢纽？
- 若某顶点的入度为0，它在系统中可能扮演什么角色？
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