关于点扩散函数小记

点扩散函数（Point Spread Function, PSF）深入讲解

1. 什么是点扩散函数？

点扩散函数（PSF）描述了成像系统对一个理想点源的响应。换句话说，它表示当一个理想的点光源（即无限小的光点）经过光学系统（如相机镜头、显微镜、望远镜）后，会在成像平面上形成一个模糊的光斑，而这个光斑的强度分布就是 PSF。

PSF 可以理解为成像系统的"指纹"，它决定了成像系统的分辨能力和模糊程度。

2. PSF 的数学定义

假设有一个理想点光源 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)（数学上是狄拉克 delta 函数），当它经过成像系统后，成像结果是：

g ( x , y ) = P S F ( x , y ) ∗ f ( x , y ) + n ( x , y ) g(x,y) = PSF(x,y) * f(x,y) + n(x,y) g(x,y)=PSF(x,y)∗f(x,y)+n(x,y)

其中：

g ( x , y ) g(x,y) g(x,y) 是成像系统的输出图像（观察到的图像）
f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 是原始场景（输入图像）
P S F ( x , y ) PSF(x,y) PSF(x,y) 是点扩散函数
∗ * ∗ 表示卷积运算
n ( x , y ) n(x,y) n(x,y) 是噪声

如果输入是一个理想点源 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)，那么输出图像就是 P S F ( x , y ) PSF(x,y) PSF(x,y)，即：

P S F ( x , y ) = g ( x , y ) PSF(x,y) = g(x,y) PSF(x,y)=g(x,y)

这表明，PSF 本质上是成像系统的空间域响应，它描述了系统如何影响输入图像的清晰度。

3. 影响 PSF 的因素

PSF 的形状和大小取决于多个因素，包括：

光学系统的衍射极限
光学系统的像差（球差、像散、色差等）
传感器的采样效应（像素大小、传感器噪声）
大气湍流（对于天文成像）
运动模糊（相机抖动、目标移动）
散焦模糊（离焦）

(1) 理想光学系统的 PSF

在没有像差的理想情况下，光学系统的点扩散函数由衍射理论 决定，其数学表达是艾里斑（Airy Disk），即：

P S F ( r ) = ( 2 J 1 ( k r ) k r ) 2 PSF(r) = \left( \frac{2 J_1(k r)}{k r} \right)^2 PSF(r)=(kr2J1(kr))2

其中：

J 1 J_1 J1 是第一类第一阶贝塞尔函数
r r r 是径向坐标
k = 2 π λ k = \frac{2 \pi}{\lambda} k=λ2π 是波数， λ \lambda λ 是波长

这意味着，即使是完美的光学系统，由于衍射效应，点源仍然会扩散成一个模糊斑点，而不是一个真正的"点"。

(2) 运动模糊下的 PSF

当相机在曝光过程中发生运动（例如，手持相机的抖动），PSF 变为一个方向上的模糊核（Motion Blur Kernel），通常是一个线性函数。

(3) 散焦模糊（Defocus Blur）

如果镜头没有正确对焦，PSF 会变成一个环形分布，类似于一个圆盘：

P S F ( x , y ) = 1 π R 2 , for x 2 + y 2 ≤ R 2 PSF(x, y) = \frac{1}{\pi R^2}, \quad \text{for } x^2 + y^2 \leq R^2 PSF(x,y)=πR21,for x2+y2≤R2

这里， R R R 是模糊斑的半径，取决于散焦程度。

4. PSF 的傅里叶变换：光学传递函数（OTF）

PSF 在频域的等价形式称为光学传递函数（Optical Transfer Function, OTF），它表示光学系统对不同空间频率的响应。

OTF 由 PSF 通过傅里叶变换获得：

O T F ( u , v ) = F { P S F ( x , y ) } OTF(u,v) = \mathcal{F} \{ PSF(x,y) \} OTF(u,v)=F{PSF(x,y)}

特别地，OTF 的幅度部分称为调制传递函数（MTF, Modulation Transfer Function），表示系统对不同频率的衰减情况。

5. PSF 在图像处理中的应用

运动去模糊（Deblurring）：通过维纳滤波、盲去卷积等方法恢复清晰图像。
超分辨率重建（Super-Resolution）：估计 PSF 以提高分辨率。
天文图像处理：用于去卷积提高观测图像的清晰度。
显微成像：在共聚焦显微镜等应用中用于图像增强。

6. 如何测量或估计 PSF

实验测量：使用点光源（如激光点）拍摄，直接测量 PSF。
数学建模：采用衍射理论或高斯模型近似 PSF。
盲估计（Blind Estimation）：通过图像处理算法估计 PSF（如基于梯度优化的方法）。

7. Python 代码示例

下面是一个模拟 PSF 的代码示例：

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import convolve2d

# 生成高斯 PSF（模拟散焦模糊）
def gaussian_psf(size, sigma):
    ax = np.linspace(-(size // 2), size // 2, size)
    xx, yy = np.meshgrid(ax, ax)
    kernel = np.exp(-(xx**2 + yy**2) / (2 * sigma**2))
    return kernel / np.sum(kernel)

# 生成模糊图像
image = np.zeros((100, 100))
image[50, 50] = 1  # 点源
psf = gaussian_psf(21, 3)
blurred_image = convolve2d(image, psf, mode='same')

# 可视化
plt.figure(figsize=(12,4))
plt.subplot(1,3,1); plt.imshow(image, cmap='gray'); plt.title("原始点源")
plt.subplot(1,3,2); plt.imshow(psf, cmap='gray'); plt.title("PSF")
plt.subplot(1,3,3); plt.imshow(blurred_image, cmap='gray'); plt.title("模糊后图像")
plt.show()

8. 总结

PSF 描述了光学系统对点源的响应，是成像系统的关键特性。
PSF 受到衍射、像差、运动模糊等因素影响。
PSF 的傅里叶变换是光学传递函数（OTF）。
在图像去模糊、超分辨率、天文成像、医学成像中广泛应用。