每日c/c++题 备战蓝桥杯(求解三个数的最大公约数与最小公倍数)

求解三个数的最大公约数与最小公倍数(C/C++实现)

引言

在数学计算和编程问题中,求多个数的**最大公约数(GCD)最小公倍数(LCM)**是常见需求。本文将探讨如何高效求解三个数的GCD和LCM,并提供完整的C/C++代码实现。


基本概念

最大公约数(GCD)

两个或多个整数的最大公约数是能整除这些数的最大正整数。例如,12和18的GCD是6。

扩展到三个数

三个数a、b、c的GCD可通过分步计算:GCD(GCD(a, b), c)

最小公倍数(LCM)

两个或多个整数的最小公倍数是能被这些数整除的最小正整数。例如,4和6的LCM是12。

扩展到三个数

三个数的LCM可通过分步计算:LCM(LCM(a, b), c)


算法思路

  1. GCD算法 :使用欧几里得算法(辗转相除法)。

    • 计算两个数的GCD:GCD(a, b) = GCD(b, a % b),直到余数为0。
    • 对三个数,先计算前两个数的GCD,再与第三个数求GCD。
  2. LCM算法 :基于公式 LCM(a, b) = |a*b| / GCD(a, b)

    • 对三个数,先计算前两个数的LCM,再与第三个数求LCM。

代码实现(C++)

cpp 复制代码
#include <iostream>
using namespace std;

// 计算两个数的最大公约数
int gcd(int x,int y)
{
    int tem = x%y;
    while(x%y)
    {
        x=y;
        y=tem;
        tem = x%y;
    }
    return y;
}

// 计算三个数的最大公约数
int gcd_three(int a, int b, int c) {
    return gcd(gcd(a, b), c);
}

// 计算两个数的最小公倍数
int lcm(int a, int b) {
    return abs(a * b) / gcd(a, b);
}

// 计算三个数的最小公倍数
int lcm_three(int a, int b, int c) {
    return lcm(lcm(a, b), c);
}

int main() {
    int a, b, c;
    cout << "请输入三个正整数:";
    cin >> a >> b >> c;
    
    cout << "最大公约数:" << gcd_three(a, b, c) << endl;
    cout << "最小公倍数:" << lcm_three(a, b, c) << endl;
    
    return 0;
}

输入输出示例

请输入三个正整数:12 18 24

最大公约数:6

最小公倍数:72

总结

  • 时间复杂度:欧几里得算法的时间复杂度为 O(log(min(a, b))),分步计算三个数的GCD/LCM仍保持高效。

  • 扩展性:此方法可推广至更多数的计算(如四数、五数)。

  • 注意事项

    输入应为正整数。

    计算a*b时可能溢出,实际应用中建议使用long long类型。

    通过分治策略和数学公式的结合,我们能够简洁高效地解决多数的GCD和LCM计算问题。

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