[leetcode] 面试经典 150 题——篇9:二叉树(番外:二叉树的遍历方式)

二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的每个节点。常见的遍历方式有四种:前序遍历(Pre-order Traversal)中序遍历(In-order Traversal)后序遍历(Post-order Traversal)以及层序遍历(Level-order Traversal)。每种遍历方式根据访问根节点的时机不同而有所区别。


概述

前序遍历(Pre-order Traversal)

在前序遍历中,首先访问根节点,然后递归地以前序方式遍历左子树,最后递归地以前序方式遍历右子树。即访问顺序为:根 -> 左 -> 右

  • 算法步骤:
    • 访问根节点。
    • 对根节点的左子树进行前序遍历。
    • 对根节点的右子树进行前序遍历。

中序遍历(In-order Traversal)

在中序遍历中,首先递归地中序遍历左子树,然后访问根节点,最后递归地中序遍历右子树。即访问顺序为:左 -> 根 -> 右

  • 算法步骤:
    • 对根节点的左子树进行中序遍历。
    • 访问根节点。
    • 对根节点的右子树进行中序遍历。

对于二叉查找树(BST),中序遍历将返回按升序排列的节点值


后序遍历(Post-order Traversal)

在后序遍历中,首先递归地以后序方式遍历左子树,然后递归地以后序方式遍历右子树,最后访问根节点。即访问顺序为:左 -> 右 -> 根

  • 算法步骤:
    • 对根节点的左子树进行后序遍历。
    • 对根节点的右子树进行后序遍历。
    • 访问根节点。

层序遍历(Level-order Traversal)

层序遍历又称广度优先遍历(BFS, Breadth-first Search),是按照从上到下、从左到右的顺序逐层访问树中的所有节点。与前面三种遍历方法不同的是,它不是递归实现的,而是通常使用队列来辅助完成。

  • 算法步骤:
    • 创建一个队列并将根节点加入队列。
    • 当队列非空时,重复以下操作:
      • 出队并访问队首节点。
      • 将访问节点的左孩子和右孩子依次入队(如果存在的话)。

每种遍历方式都有其特定的应用场景,例如,前序遍历常用于复制树,中序遍历用于二叉查找树的排序输出,后序遍历可用于删除或释放节点资源,而层序遍历则有助于找到最短路径等问题。


例子

示例二叉树

假设我们有以下二叉树:

python 复制代码
        1
       / \
      2   3
     / \   \
    4   5   6
  • 根节点是 1
  • 左子树的根是 2,右子树的根是 3
  • 节点 2 的左孩子是 4,右孩子是 5
  • 节点 3 的右孩子是 6

前序遍历

访问顺序:根 -> 左 -> 右

python 复制代码
[1, 2, 4, 5, 3, 6]

代码实现:

python 复制代码
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def pre_order_traversal(root):
    result = []
    def traverse(node):
        if not node:
            return
        result.append(node.val)  # 访问根节点
        traverse(node.left)      # 遍历左子树
        traverse(node.right)     # 遍历右子树
    traverse(root)
    return result

# 构建二叉树
root = TreeNode(1)
root.left = TreeNode(2)
root.right = TreeNode(3)
root.left.left = TreeNode(4)
root.left.right = TreeNode(5)
root.right.right = TreeNode(6)
print(pre_order_traversal(root))  # 输出: [1, 2, 4, 5, 3, 6]

中序遍历

访问顺序:左 -> 根 -> 右

python 复制代码
[4, 2, 5, 1, 3, 6]

代码实现:

python 复制代码
def in_order_traversal(root):
    result = []
    def traverse(node):
        if not node:
            return
        traverse(node.left)      # 遍历左子树
        result.append(node.val)  # 访问根节点
        traverse(node.right)     # 遍历右子树
    traverse(root)
    return result

print(in_order_traversal(root))  # 输出: [4, 2, 5, 1, 3, 6]

后序遍历

访问顺序:左 -> 右 -> 根

python 复制代码
[4, 5, 2, 6, 3, 1]

代码实现:

python 复制代码
def post_order_traversal(root):
    result = []
    def traverse(node):
        if not node:
            return
        traverse(node.left)      # 遍历左子树
        traverse(node.right)     # 遍历右子树
        result.append(node.val)  # 访问根节点
    traverse(root)
    return result

print(post_order_traversal(root))  # 输出: [4, 5, 2, 6, 3, 1]

层序遍历

访问顺序:从上到下、从左到右逐层访问

python 复制代码
[1, 2, 3, 4, 5, 6]

代码实现:

python 复制代码
from collections import deque

def level_order_traversal(root):
    if not root:
        return []
    
    result = []
    queue = deque([root])  # 初始化队列,根节点入队
    
    while queue:
        node = queue.popleft()  # 出队并访问当前节点
        result.append(node.val)
        
        if node.left:  # 如果左孩子存在,入队
            queue.append(node.left)
        if node.right:  # 如果右孩子存在,入队
            queue.append(node.right)
    
    return result

print(level_order_traversal(root))  # 输出: [1, 2, 3, 4, 5, 6]

总结

遍历方式 访问顺序 示例结果
前序遍历 根 -> 左 -> 右 [1, 2, 4, 5, 3, 6]
中序遍历 左 -> 根 -> 右 [4, 2, 5, 1, 3, 6]
后序遍历 左 -> 右 -> 根 [4, 5, 2, 6, 3, 1]
层序遍历 按层从左到右 [1, 2, 3, 4, 5, 6]

不同遍历方式适用于不同的场景,例如:

  • 前序遍历:用于复制树、序列化树。
  • 中序遍历:用于二叉查找树的排序输出。
  • 后序遍历:用于删除树或释放资源。
  • 层序遍历:用于寻找最短路径或按层级处理节点。
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