🚀 并查集（Union-Find）详解：原理、实现与优化
并查集（Union-Find）是一种非常高效的数据结构，用于处理动态连通性问题，即判断若干个元素是否属于同一个集合，并支持集合合并操作。它在图算法中（如 Kruskal 最小生成树）、朋友圈统计、网络连通性判断等场景中非常常见。
🧠 并查集的核心功能
- find(x) ：查找元素
x所在集合的代表（也叫"根节点"） - union(x, y) ：将元素
x和y所在的两个集合合并 - parent[x]：记录每个元素的"父亲"，通过父亲链条找祖先（树结构）
🧩 并查集基本结构
python
n = 5
parents = list(range(n + 1)) # parents[i] = i，0号位不使用🔍 基本实现：find 和 union
python
def find(x):
if parents[x] == x:
return x
else:
return find(parents[x])
python
def union(x, y):
root_x = find(x)
root_y = find(y)
if root_x == root_y:
return False
parents[root_y] = root_x
return True🧠 类比记忆
- 每个元素的
parent就像是它的"爸爸" find(x)就是往上找老祖宗union(x, y)就是两个家族联姻，把一个家族并进另一个
⚡ 并查集优化技巧（路径优化）：路径压缩优化
查询时顺便把路径上所有的节点都指向大族长，一次find后这条路径的深度为1
python
def find(x):
if x != parents[x]:
parents[x] = find(parents[x])
return parents[x]🧱 并查集优化技巧（合并优化）：按秩合并 & 按大小合并
🔢 按大小合并（Union by Size）
小家族归大家族，大的当族长
python
size = [1] * (n + 1)
def union(x, y):
rx, ry = find(x), find(y)
if rx == ry:
return False
if size[rx] < size[ry]:
parents[rx] = ry
size[ry] += size[rx]
else:
parents[ry] = rx
size[rx] += size[ry]
return True🏷️ 按秩合并（Union by Rank）
辈分高的当族长
python
rank = [0] * (n + 1)
def union(x, y):
rx, ry = find(x), find(y)
if rx == ry:
return False
if rank[rx] < rank[ry]:
parents[rx] = ry
elif rank[rx] > rank[ry]:
parents[ry] = rx
else:
parents[ry] = rx
rank[rx] += 1
return True💡 组合使用建议
最推荐的并查集配置是：
路径压缩 + 按秩合并 或 按大小合并
能达到几乎 O(1) 的查询和合并效率。
📚 应用场景
- Kruskal 最小生成树算法
- 网络连通性判断
- 动态连通块个数统计
- 岛屿数量（LeetCode 200）
- 冗余连接（LeetCode 684）
- 朋友圈数量（LeetCode 547）
🎯 总结
| 术语 | 含义 |
|---|---|
find(x) |
找出 x 所属集合的根节点 |
union(x, y) |
合并 x 和 y 的集合（若不属于同一集合） |
| 路径压缩 | 加快 find 查询效率 |
| 按秩/按大小 | 优化合并策略，防止退化 |
| 树的结构 | 集合之间的连接关系 |
并查集看起来简单，背后其实是极高效的数据结构设计。建议掌握它，并尝试应用到图论、集合问题中去！
🧩 常见练习题
✅ 基础入门题
| 题号 | 题目名称 | 链接 | 简介 |
|---|---|---|---|
| 200 | 岛屿数量 | LeetCode 200 | 判断二维网格中有多少个连通块 |
| 684 | 冗余连接 | LeetCode 684 | 找出图中导致环的边 |
| 1319 | 连通网络的操作次数 | LeetCode 1319 | 判断有多少连通块，以及最少连接次数 |
🧠 中级应用题
| 题号 | 题目名称 | 链接 | 简介 |
|---|---|---|---|
| 1202 | 交换字符串中的元素 | LeetCode 1202 | 使用并查集形成交换组，对组内排序 |
| 721 | 账户合并 | LeetCode 721 | 通过邮箱合并属于同一用户的账户 |
| 323 | 无向图中连通分量的数目 | LeetCode 323 | 通用连通块计数问题 |
🔍 进阶与变种题
| 题号 | 题目名称 | 链接 | 简介 |
|---|---|---|---|
| 399 | 除法求值 | LeetCode 399 | 带权并查集：维护节点之间的比例关系 |
| 547 | 省份数量（等价朋友圈问题） | LeetCode 547 | 判断有多少朋友圈/省份 |
| 990 | 等式方程的可满足性 | LeetCode 990 | 并查集维护等式约束 |
📌 推荐练习顺序
200- 岛屿数量684- 冗余连接1319- 连通网络的操作次数547- 省份数量1202- 字符串交换721- 邮箱合并399- 除法求值990- 等式方程可解性
🧠 建议掌握：
- 基础并查集结构（
find,union） - 路径压缩优化
- 带权并查集（维护差值、比例等信息）
- 一维映射（如坐标 → 编号）