leetcode 322. Coin Change

这道题也是完全背包问题。注意与第518题和第377题对比。

这道题要求的是最少可以用多少个物品装满背包，不关心所选物品的组合方式和排列方式。因此，外层循环既可以是对物品的遍历，也可以是对容量的遍历。

第518题，要求的是装满背包的物品的组合数，不关心所选物品的先后顺序，因此求的是组合数，所以外层循环必须是对物品做遍历，内层循环必须是对容量做遍历。

第377题，要求的是装满背包的物品的排列数，选相同的物品，物品的先后顺序不同要分别计数，因此求的是排列数，外层循环必须是对容量做遍历，内层循环必须是对物品做遍历。

第一版代码：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<bool> valid(amount+1,false);
        valid[0] = 1;
        for(int& coin:coins){
            for(int j = coin;j<=amount;j++){
                valid[j] = valid[j] || valid[j-coin];
            }
        }
        if(!valid[amount]) return -1;
        //dp[j]表示从coins中选若干硬币凑成金额j所需的最少硬币个数
        vector<double> dp(amount+1,INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int &coin:coins){
            for(int j = coin;j <= amount;j++){
                dp[j] = min(dp[j],dp[j-coin]+1);
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

本题dp数组的初始化需要仔细考虑一下。dp0应该初始化为0。题目说了硬币面额都是正数。要凑成总金额为0只有一种凑法，那就是一个硬币也不选，即凑成总金额0所需的最少硬币个数是0。

除了dp0外，j>=1的dpj应该如何初始化呢？回归dpj的含义，dpj表示凑成总金额j所需的最少硬币个数，初始情况下一个硬币也没有，因此不可凑成金额j(j>=1)，因此dpj应该初始化为一个非法的值，表示无法凑成j。题目说如果凑不成总金额amount就返回-1，这是不是表示可以初始化为-1呢？不可以，因为后面的递推公式是求最小值，初始化为-1会导致错误。因此可以考虑初始化为一个永远取不到的很大的值，结合题意，可以初始化为amount+1。

第一版代码中，初始化为INT_MAX，计算中间结果的时候，整数溢出，然后为了避免这个问题，又把dp数据的类型改成double。这全都是不需要的。

第二版代码：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<bool> valid(amount+1,false);
        valid[0] = 1;
        for(int& coin:coins){
            for(int j = coin;j<=amount;j++){
                valid[j] = valid[j] || valid[j-coin];
            }
        }
        if(!valid[amount]) return -1;
        //dp[j]表示从coins中选若干硬币凑成金额j所需的最少硬币个数
        vector<int> dp(amount+1,amount+1);
        dp[0] = 0;
        for(int &coin:coins){
            for(int j = coin;j <= amount;j++){
                dp[j] = min(dp[j],dp[j-coin]+1);
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};