机器学习中的数学(PartⅡ)——线性代数:2.2矩阵

概述

本节内容也相对简单,首先介绍了矩阵的定义矩阵的表示方法 ;然后介绍了矩阵的加法乘法与标量的乘法 ,以及一些矩阵相关算数运算的性质 ,包括满足结合律、交换律;矩阵的转置;最后又回顾了如何使用矩阵简约地表示线性方程组。


矩阵的定义和表示

这部分比较简单,直接贴原文:

但是这里有一个表示方法,就是一个m×n的矩阵可以用一个mn长度的长向量表示,如图2.4所示。

有一类特殊的矩阵------单位阵,是方阵,且主对角线元素全为1,其余元素均为0。


矩阵加法和乘法

加法 就是对应元素相加,乘法不再赘述,高中知识点。

需要说明的是:

  • 矩阵乘法的表示形式为,需要显式地写出中间的符号(但后续书中表示矩阵乘法好像都省略了。。。);
  • 矩阵乘法不是对应元素相乘,而对应元素相乘通常出现在编程语言中,被称为哈达玛积(Hadamard product)。

标量与矩阵的乘法

标量与矩阵相乘就是标量与矩阵中的每个元素相乘。有如下性质:


矩阵算数运算的性质

  • 结合律: 可以把看作是一个函数,是输入,结合律可以看作是复合函数。
  • 分配律:
  • 与单位阵的乘法:

逆和转置

逆矩阵,定义直接贴图:

注意,此处都是方阵。

并非所有方阵都有逆矩阵 ,如果对于一个方阵,不存在逆,则称正则 (regular)/可逆 (invertible)/非奇异(nonsingular)矩阵,否则称为奇异(singular)/不可逆(noninvertible)矩阵。

如何判断一个矩阵是否可逆呢?可以通过计算其行列式(后续内容)来判断,矩阵行列式不为0则可逆


转置,简单说就是把一个矩阵的行变成列,行列维度互换。


逆和转置的重要特性


对阵矩阵

对于矩阵而言,如果,则是对称矩阵。

注意:

  • 对阵矩阵必定是方阵;
  • 两个对称矩阵的和总是对称矩阵,但乘积得到的矩阵通常不是对称矩阵;
  • 如果一个矩阵可逆,则其转置也可逆,有定义如下:

表示线性方程组

可使用矩阵简洁地表示线性方程组。在上述例子中,缩放矩阵第一列,缩放矩阵第二列,缩放矩阵的第三列。可进一步表示为


总结

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